📘 ln(x) Fonksiyonunun Türevi
Doğal logaritma fonksiyonu olan ln(x)'in türevi, matematikte en temel ve önemli türev kurallarından biridir. Bu kuralı anlamak, logaritmik fonksiyonlarla çalışırken ve daha karmaşık türev problemlerini çözerken size büyük kolaylık sağlayacaktır. 🎯
🔍 Temel Kural
ln(x) fonksiyonunun türevi aşağıdaki gibidir:
\( \frac{d}{dx} [\ln(x)] = \frac{1}{x} \)
Bu, x > 0 olmak şartıyla geçerlidir. Çünkü ln(x) fonksiyonu sadece pozitif x değerleri için tanımlıdır.
💡 İspatı (Zincir Kuralı ile)
Bu kuralı, üstel fonksiyonun türevini kullanarak ispatlayabiliriz:
- ➡️ y = ln(x) diyelim.
- ➡️ Bu denklemin üstel formu: ey = x şeklindedir.
- ➡️ Şimdi her iki tarafın da x'e göre türevini alalım. Sol taraf için zincir kuralını uygulayacağız:
\( \frac{d}{dx}(e^y) = \frac{d}{dx}(x) \)
\( e^y \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \)
- ➡️ dy/dx ifadesini yalnız bırakalım:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} \)
- ➡️ Başlangıçta y = ln(x) olduğu için, ey = x'tir. Yerine koyarsak:
\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)
Böylece ispatımızı tamamlamış olduk. ✅
🧠 Zincir Kuralı ile Genişletme
Eğer ln(x) yerine, daha karmaşık bir fonksiyonun doğal logaritmasını alıyorsak, zincir kuralını kullanmamız gerekir.
Genel Kural: \( \frac{d}{dx} [\ln(u)] = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} \)
Burada u, x'in türevlenebilir bir fonksiyonudur ve u > 0 olmalıdır.
📌 Örnekler:
- 🎯 Örnek 1: \( f(x) = \ln(5x) \) fonksiyonunun türevini bulalım.
- Burada u = 5x, dolayısıyla du/dx = 5.
- Zincir kuralını uygularsak: \( f'(x) = \frac{1}{5x} \cdot 5 = \frac{1}{x} \)
- 🎯 Örnek 2: \( g(x) = \ln(x^2 + 1) \) fonksiyonunun türevini bulalım.
- Burada u = x² + 1, dolayısıyla du/dx = 2x.
- Zincir kuralını uygularsak: \( g'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1} \)
⚠️ Unutulmaması Gereken Noktalar
- ✅ ln(x)'in türevi sadece pozitif x değerleri için 1/x'tir.
- ✅ Zincir kuralı, iç fonksiyon daha karmaşık olduğunda türevi bulmanın anahtarıdır.
- ✅ Bu kural, logaritmik türev alma gibi ileri konuların da temelini oluşturur.
