Bir bakteri kültüründeki bakteri sayısının zamana göre değişimi $N(t) = 100 \cdot ln(2t+1)$ fonksiyonu ile modellenmiştir.
Buna göre, t=2 anında bakteri sayısının değişim hızı kaçtır?
Bu problemde, bir bakteri kültüründeki bakteri sayısının zamana göre değişimini veren bir fonksiyon ve belirli bir anda bakteri sayısının değişim hızını bulmamız isteniyor. Değişim hızı, matematikte türev kavramıyla ifade edilir.
1. Adım: Fonksiyonu Anlayalım
Bakteri sayısının zamana göre değişimini veren fonksiyon $N(t) = 100 \cdot ln(2t+1)$ olarak verilmiştir. Burada $N(t)$ bakteri sayısını, $t$ ise zamanı temsil eder.
2. Adım: Değişim Hızının Ne Anlama Geldiğini Belirleyelim
Bir fonksiyonun değişim hızı, o fonksiyonun zamana göre türevi alınarak bulunur. Yani, $N(t)$ fonksiyonunun $t$'ye göre türevi olan $N'(t)$'yi bulmamız gerekiyor. Bu türev, bakteri sayısının anlık değişim hızını verecektir.
3. Adım: Türev Alma Kurallarını Hatırlayalım
Bu fonksiyonun türevini alırken zincir kuralını ve doğal logaritma fonksiyonunun türevini kullanacağız:
Bizim fonksiyonumuzda $u = 2t+1$ ve $u$'nun $t$'ye göre türevi $u' = (2t+1)' = 2$ olacaktır.
4. Adım: $N(t)$ Fonksiyonunun Türevini ($N'(t)$) Bulalım
$N(t) = 100 \cdot ln(2t+1)$ fonksiyonunun türevini alalım:
$N'(t) = \frac{d}{dt} (100 \cdot ln(2t+1))$
$N'(t) = 100 \cdot \frac{d}{dt} (ln(2t+1))$
Zincir kuralını uygulayarak:
$N'(t) = 100 \cdot \frac{(2t+1)'}{2t+1}$
$N'(t) = 100 \cdot \frac{2}{2t+1}$
$N'(t) = \frac{200}{2t+1}$
5. Adım: $t=2$ Anındaki Değişim Hızını Hesaplayalım
Şimdi, $t=2$ anındaki değişim hızını bulmak için $N'(t)$ ifadesinde $t$ yerine $2$ yazalım:
$N'(2) = \frac{200}{2(2)+1}$
$N'(2) = \frac{200}{4+1}$
$N'(2) = \frac{200}{5}$
$N'(2) = 40$
Buna göre, $t=2$ anında bakteri sayısının değişim hızı $40$'tır.
Cevap C seçeneğidir.
