Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, logaritma ve türev kurallarını kullanarak bir fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım inceleyeceğiz. Fonksiyonumuz $f(x) = ln(\sqrt{x})$.
Bu tür bir fonksiyonun türevini alırken, işimizi kolaylaştıracak bazı logaritma özelliklerini ve temel türev kurallarını hatırlamamız gerekiyor.
- Adım 1: Fonksiyonu Basitleştirme (Logaritma Özelliklerini Kullanma)
- Öncelikle, fonksiyonu türevini alması daha kolay bir hale getirelim. Karekök ifadesini üslü sayı olarak yazabiliriz: $\sqrt{x} = x^{1/2}$.
- Şimdi fonksiyonumuz $f(x) = ln(x^{1/2})$ şeklini aldı.
- Logaritmanın önemli bir özelliğini hatırlayalım: $ln(a^b) = b \cdot ln(a)$. Bu özelliği kullanarak fonksiyonumuzu daha da basitleştirebiliriz.
- Buna göre, $f(x) = \frac{1}{2} ln(x)$ olur. Gördüğünüz gibi, bu ifade artık türevini alması çok daha kolay bir formda.
- Adım 2: Türev Kurallarını Hatırlama
- İki temel türev kuralına ihtiyacımız var:
- Bir sabitin bir fonksiyonla çarpımının türevi: $(c \cdot g(x))' = c \cdot g'(x)$
- Doğal logaritma fonksiyonunun türevi: $(ln(x))' = \frac{1}{x}$
- Adım 3: Türev Alma İşlemini Gerçekleştirme
- Şimdi basitleştirdiğimiz $f(x) = \frac{1}{2} ln(x)$ fonksiyonunun türevini alalım.
- $f'(x) = (\frac{1}{2} ln(x))'$
- Sabit çarpan kuralını uygulayarak $\frac{1}{2}$'yi dışarı alabiliriz: $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (ln(x))'$
- Şimdi $ln(x)$'in türevini yerine yazalım: $f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x}$
- Bu ifadeyi düzenlersek: $f'(x) = \frac{1}{2x}$ sonucunu buluruz.
Bu adımları takip ettiğimizde, $f(x) = ln(\sqrt{x})$ fonksiyonunun türevinin $\frac{1}{2x}$ olduğunu görmüş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
