Bir aritmetik dizide 5. terim 17, 9. terim 29'dur. Buna göre bu dizinin 7. terimi kaçtır?
A) 21Aritmetik Dizilerde Terim Bulma
Bir aritmetik dizide, ardışık terimler arasındaki fark sabittir. Bu farka "ortak fark" denir ve genellikle $d$ ile gösterilir. Bir aritmetik dizinin $n$. terimi $a_n$ olmak üzere, genel terim formülü $a_n = a_1 + (n-1)d$ şeklindedir. Ancak, herhangi iki terim arasındaki ilişkiyi kullanarak da ortak farkı bulabiliriz: $a_m = a_k + (m-k)d$.
Şimdi sorumuzdaki bilgileri kullanarak 7. terimi adım adım bulalım:
Bize dizinin 5. terimi ($a_5$) = 17 ve 9. terimi ($a_9$) = 29 olarak verilmiştir. Bizden dizinin 7. terimini ($a_7$) bulmamız isteniyor.
Aritmetik dizilerde herhangi iki terim arasındaki ilişkiyi kullanarak ortak farkı bulabiliriz. Genel formülümüz $a_m = a_k + (m-k)d$ idi. Burada $a_9$ ve $a_5$ terimlerini kullanabiliriz. Yani $m=9$ ve $k=5$ alalım.
$a_9 = a_5 + (9-5)d$
Verilen değerleri bu denklemde yerine yazalım:
$29 = 17 + (4)d$
Şimdi denklemi $d$ için çözelim:
$29 - 17 = 4d$
$12 = 4d$
Her iki tarafı 4'e böldüğümüzde ortak fark $d$ bulunur:
$d = rac{12}{4}$
$d = 3$
Böylece dizinin ortak farkının 3 olduğunu bulduk. Bu, dizideki her terimin bir öncekinden 3 fazla olduğu anlamına gelir.
Ortak farkı ($d=3$) bulduğumuza göre, şimdi 5. terimi ($a_5=17$) veya 9. terimi ($a_9=29$) kullanarak 7. terimi bulabiliriz. 5. terimi kullanmak daha kolay olacaktır çünkü 7. terim, 5. terimden sadece 2 adım sonradır.
$a_7 = a_5 + (7-5)d$
$a_7 = 17 + (2)d$
Bulduğumuz ortak fark $d=3$ değerini bu denklemde yerine yazalım:
$a_7 = 17 + 2(3)$
$a_7 = 17 + 6$
$a_7 = 23$
Alternatif olarak, 9. terimi kullanarak da aynı sonuca ulaşabilirdik:
$a_7 = a_9 + (7-9)d$
$a_7 = 29 + (-2)d$
$a_7 = 29 - 2(3)$
$a_7 = 29 - 6$
$a_7 = 23$
Her iki yöntemle de dizinin 7. teriminin 23 olduğunu bulduk. Bu, 5. terimden iki adım ileri giderek (17 + 3 + 3 = 23) veya 9. terimden iki adım geri gelerek (29 - 3 - 3 = 23) de doğrulanabilir.
Bu durumda, dizinin 7. terimi 23'tür.
Cevap B seçeneğidir.
