Aritmetik dizide ortadaki terim özelliği Test 1

Bir aritmetik dizinin 4. terimi 13, 10. terimi 25'tir. Bu dizinin 7. terimi kaçtır?

A) 17
B) 18
C) 19
D) 20

Aritmetik dizi, ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu bir sayı dizisidir. Bu sabit farka ortak fark denir ve genellikle $d$ ile gösterilir.

Bir aritmetik dizinin herhangi bir $k$. terimi $a_k$ ve $m$. terimi $a_m$ olmak üzere, bu terimler arasındaki ilişkiyi veren formül şöyledir: $a_m = a_k + (m-k)d$. Bu formül, dizinin herhangi iki terimi arasındaki ortak farkı bulmamızı sağlar.

Şimdi sorumuzu adım adım çözelim:

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Belirleyelim

  Bize dizinin 4. terimi ($a_4$) ve 10. terimi ($a_{10}$) verilmiş:

  $a_4 = 13$

  $a_{10} = 25$

  Bizden istenen ise dizinin 7. terimi ($a_7$).

• 2. Adım: Ortak Farkı ($d$) Bulalım

  İki terim arasındaki ilişki formülünü kullanarak ortak farkı bulabiliriz:

  $a_m = a_k + (m-k)d$

  Burada $a_m = a_{10}$ ve $a_k = a_4$ alalım. Yani $m=10$ ve $k=4$.

  $a_{10} = a_4 + (10-4)d$

  Verilen değerleri yerine yazalım:

  $25 = 13 + (6)d$

  Denklemi çözelim:

  $25 - 13 = 6d$

  $12 = 6d$

  $d = \frac{12}{6}$

  $d = 2$

  Demek ki dizinin ortak farkı $2$'dir.

• 3. Adım: 7. Terimi ($a_7$) Bulalım

  Ortak farkı bulduğumuza göre, 7. terimi bulmak için birkaç farklı yöntem kullanabiliriz:

  Yöntem 1: 4. terimi kullanarak

  $a_7 = a_4 + (7-4)d$

  $a_7 = a_4 + 3d$

  Verilen $a_4 = 13$ ve bulduğumuz $d=2$ değerlerini yerine yazalım:

  $a_7 = 13 + 3(2)$

  $a_7 = 13 + 6$

  $a_7 = 19$

  Yöntem 2: 10. terimi kullanarak

  $a_7 = a_{10} + (7-10)d$

  $a_7 = a_{10} - 3d$

  Verilen $a_{10} = 25$ ve bulduğumuz $d=2$ değerlerini yerine yazalım:

  $a_7 = 25 - 3(2)$

  $a_7 = 25 - 6$

  $a_7 = 19$

  Gördüğünüz gibi, her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık.

  Yöntem 3 (Ek Bilgi): Aritmetik Ortalama Kullanarak

  Fark ettiyseniz, 7. terim (indeksi 7) tam olarak 4. terim (indeksi 4) ve 10. terim (indeksi 10) indekslerinin ortasındadır, çünkü $(4+10)/2 = 7$. Bu durumda, 7. terim, 4. ve 10. terimlerin aritmetik ortalamasıdır.

  $a_7 = \frac{a_4 + a_{10}}{2}$

  $a_7 = \frac{13 + 25}{2}$

  $a_7 = \frac{38}{2}$

  $a_7 = 19$

  Bu yöntem, terimin indeksleri diğer iki terimin indekslerinin tam ortasında olduğunda oldukça hızlı bir çözüm sunar.

Sonuç olarak, dizinin 7. terimi $19$'dur.

Cevap C seçeneğidir.