Bağımlı ve bağımsız olaylar (Olasılık) Test 1

Bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının asal sayı olma olasılığı P(A) ve çift sayı olma olasılığı P(B) olarak tanımlanıyor. Buna göre P(A ∪ B) olasılığı kaçtır?

A) 1/6
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 5/6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir zar atıldığında ortaya çıkan iki farklı olayın olasılıklarını ve bu olayların birleşiminin olasılığını hesaplayacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu daha iyi anlayalım.

• Adım 1: Örnek Uzayı (Tüm Olası Sonuçlar) Belirleme

  Bir zar atıldığında üst yüze gelebilecek tüm sayılar, bizim örnek uzayımızı oluşturur. Bu sayılar şunlardır:

  $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$

  Toplam olası sonuç sayısı $n(\Omega) = 6$'dır.

• Adım 2: A Olayını (Asal Sayı Gelme) Belirleme ve Olasılığını Hesaplama

  A olayı, üst yüze gelen sayının asal sayı olmasıdır. Asal sayılar, sadece 1'e ve kendisine bölünebilen 1'den büyük tam sayılardır.

  Zardaki asal sayılar: $\{2, 3, 5\}$

  Yani, $A = \{2, 3, 5\}$'tir.

  A olayının eleman sayısı $n(A) = 3$'tür.

  A olayının olasılığı $P(A) = \frac{\text{A olayının eleman sayısı}}{\text{Örnek uzayın eleman sayısı}} = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$'dir.

• Adım 3: B Olayını (Çift Sayı Gelme) Belirleme ve Olasılığını Hesaplama

  B olayı, üst yüze gelen sayının çift sayı olmasıdır.

  Zardaki çift sayılar: $\{2, 4, 6\}$

  Yani, $B = \{2, 4, 6\}$'dır.

  B olayının eleman sayısı $n(B) = 3$'tür.

  B olayının olasılığı $P(B) = \frac{\text{B olayının eleman sayısı}}{\text{Örnek uzayın eleman sayısı}} = \frac{n(B)}{n(\Omega)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$'dir.

• Adım 4: A ve B Olaylarının Kesişimini ($A \cap B$) Belirleme ve Olasılığını Hesaplama

  A ve B olaylarının kesişimi ($A \cap B$), hem asal hem de çift olan sayıları ifade eder. Yani, her iki kümede de ortak olan elemanları bulmalıyız.

  $A = \{2, 3, 5\}$

  $B = \{2, 4, 6\}$

  Ortak eleman sadece $\{2\}$'dir. Çünkü 2, hem asal hem de çift olan tek sayıdır.

  Yani, $A \cap B = \{2\}$'dir.

  Kesişim olayının eleman sayısı $n(A \cap B) = 1$'dir.

  Kesişim olayının olasılığı $P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(\Omega)} = \frac{1}{6}$'dır.

• Adım 5: P(A ∪ B) Olasılığını Hesaplama

  İki olayın birleşiminin olasılığını bulmak için genel olasılık formülünü kullanırız:

  $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

  Şimdi bulduğumuz değerleri formülde yerine yazalım:

  $P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

  $P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6}$

  Paydaları eşitleyelim:

  $P(A \cup B) = \frac{6}{6} - \frac{1}{6}$

  $P(A \cup B) = \frac{5}{6}$

  Alternatif Yöntem: A ∪ B Kümesini Doğrudan Belirleme

  A ∪ B, asal sayı VEYA çift sayı olan tüm sayıları içeren kümedir. Yani, A kümesindeki elemanlarla B kümesindeki elemanları birleştirip, tekrar edenleri bir kez yazmalıyız.

  $A = \{2, 3, 5\}$

  $B = \{2, 4, 6\}$

  $A \cup B = \{2, 3, 4, 5, 6\}$

  Bu kümenin eleman sayısı $n(A \cup B) = 5$'tir.

  O halde, $P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(\Omega)} = \frac{5}{6}$'dır.

Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Bu da çözümümüzün doğruluğunu teyit eder.

Cevap E seçeneğidir.