Bir sınıftaki öğrencilerin %60'ı matematikten, %40'ı fizikten başarılıdır. Her iki dersten başarılı olanların oranı %30 olduğuna göre, bu iki olayın bağımsız olup olmadığını bulunuz.
A) Bağımsızdır çünkü P(A∩B) = P(A)×P(B)
B) Bağımsız değildir çünkü P(A∩B) ≠ P(A)×P(B)
C) Bağımsızdır çünkü P(A∪B) = P(A)+P(B)
D) Bağımsız değildir çünkü P(A) = P(B)
E) Bağımsızdır çünkü olaylar ayrıktır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki olayın (matematikten başarılı olmak ve fizikten başarılı olmak) bağımsız olup olmadığını bulmamız isteniyor. İki olayın bağımsızlığını anlamak için belirli bir kuralı uygulamamız gerekiyor. Şimdi adım adım bu kuralı uygulayarak soruyu çözelim.
- Adım 1: Olayları ve Verilen Olasılıkları Tanımlayalım.
- Matematikten başarılı olma olayına $M$ diyelim.
- Fizikten başarılı olma olayına $F$ diyelim.
- Soruda verilen olasılıkları matematiksel olarak yazalım:
- Matematikten başarılı olma olasılığı: $P(M) = \%60 = 0.60$
- Fizikten başarılı olma olasılığı: $P(F) = \%40 = 0.40$
- Her iki dersten de başarılı olma olasılığı (yani $M$ ve $F$ olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı): $P(M \cap F) = \%30 = 0.30$
- Adım 2: İki Olayın Bağımsızlık Şartını Hatırlayalım.
- İki olay, $A$ ve $B$, bağımsızdır, eğer ve ancak eğer bu iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, her bir olayın ayrı ayrı gerçekleşme olasılıklarının çarpımına eşitse. Yani, bağımsızlık şartı şudur:
- $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$
- Eğer bu eşitlik sağlanmıyorsa, olaylar bağımsız değildir.
- Adım 3: Verilen Olasılıkları Kullanarak Bağımsızlık Şartını Kontrol Edelim.
- Öncelikle, $P(M)$ ve $P(F)$ olasılıklarını çarpalım:
- $P(M) \times P(F) = 0.60 \times 0.40$
- $P(M) \times P(F) = 0.24$
- Şimdi bu değeri, her iki dersten de başarılı olma olasılığı olan $P(M \cap F)$ ile karşılaştıralım.
- Bize verilen $P(M \cap F) = 0.30$ idi.
- Adım 4: Sonuçları Karşılaştıralım ve Karar Verelim.
- Hesapladığımız $P(M) \times P(F) = 0.24$
- Bize verilen $P(M \cap F) = 0.30$
- Gördüğümüz gibi, $0.24 \neq 0.30$. Yani, $P(M \cap F) \neq P(M) \times P(F)$ eşitliği sağlanmıyor.
- Bu durumda, matematik ve fizik derslerinden başarılı olma olayları bağımsız değildir.
- Adım 5: Doğru Seçeneği Belirleyelim.
- Yaptığımız analiz sonucunda, olayların bağımsız olmadığını ve bunun nedeninin $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$ eşitliğinin sağlanmaması olduğunu bulduk. Bu açıklama B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
