Bir fabrikada A makinesinin ürettiği ürünlerin %5'i, B makinesinin ürettiği ürünlerin %8'i kusurludur. Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı 0,062 olduğuna göre, A makinesinin üretim payı kaçtır?
A) 0,4
B) 0,5
C) 0,6
D) 0,7
E) 0,8
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki makinenin üretim payları ve kusurlu ürün oranları ile ilgili bir olasılık problemi çözeceğiz. Adım adım ilerleyerek soruyu kolayca anlayıp çözümünü yapacağız.
- Verilenleri Anlayalım:
- A makinesinin ürettiği ürünlerin %5'i kusurlu. Bunu olasılık olarak $P(\text{Kusurlu} | A) = 0.05$ şeklinde ifade edebiliriz.
- B makinesinin ürettiği ürünlerin %8'i kusurlu. Bunu olasılık olarak $P(\text{Kusurlu} | B) = 0.08$ şeklinde ifade edebiliriz.
- Rastgele seçilen bir ürünün kusurlu olma olasılığı 0,062. Bu, toplam kusurlu ürün olasılığıdır: $P(\text{Kusurlu}) = 0.062$.
- Bizden istenen, A makinesinin üretim payı. Buna $P(A)$ diyelim.
- Bilinmeyenleri Tanımlayalım:
- A makinesinin üretim payına $P(A) = x$ diyelim.
- Fabrikada sadece A ve B makineleri olduğu için, B makinesinin üretim payı $P(B) = 1 - P(A)$ olacaktır. Yani $P(B) = 1 - x$.
- Toplam Olasılık Teoremini Uygulayalım:
- Bir ürünün kusurlu olma olasılığı, A makinesinden gelip kusurlu olma olasılığı ile B makinesinden gelip kusurlu olma olasılığının toplamına eşittir. Bu, Toplam Olasılık Teoremi olarak bilinir:
$P(\text{Kusurlu}) = P(\text{Kusurlu} | A) \cdot P(A) + P(\text{Kusurlu} | B) \cdot P(B)$
- Denklemi Kuralım ve Çözelim:
- Şimdi bildiğimiz değerleri ve tanımladığımız bilinmeyenleri denkleme yerleştirelim:
$0.062 = (0.05) \cdot x + (0.08) \cdot (1 - x)$
- Denklemi açalım ve düzenleyelim:
$0.062 = 0.05x + 0.08 - 0.08x$
- $x$'li terimleri bir araya getirelim:
$0.062 = 0.08 - 0.03x$
- $0.03x$ terimini sol tarafa, $0.062$ terimini sağ tarafa alalım:
$0.03x = 0.08 - 0.062$
- Çıkarma işlemini yapalım:
$0.03x = 0.018$
- Şimdi $x$'i bulmak için her iki tarafı $0.03$'e bölelim:
$x = \frac{0.018}{0.03}$
- Kesri daha kolay hesaplamak için pay ve paydayı 1000 ile çarpabiliriz (veya virgülleri kaydırabiliriz):
$x = \frac{18}{30}$
- Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 6'ya bölelim):
$x = \frac{3}{5}$
- Bu değeri ondalık sayıya çevirelim:
$x = 0.6$
- Sonucu Değerlendirelim:
- A makinesinin üretim payı $x = 0.6$ olarak bulunmuştur. Bu da %60 anlamına gelir.
Cevap C seçeneğidir.
