Bir malın satış fiyatı \( x \) TL olmak üzere, günlük satış miktarı \( 100 - 2x \) adettir. Buna göre günlük gelirin maksimum olması için malın satış fiyatı kaç TL olmalıdır?
A) 20Merhaba sevgili öğrenciler!
Günlük gelirin maksimum olması için malın satış fiyatını bulmak için adım adım ilerleyelim:
Günlük gelir, malın satış fiyatı ile günlük satış miktarının çarpımına eşittir. Yani:
Gelir = Satış Fiyatı $\times$ Satış Miktarı
Soruda verilen bilgilere göre:
Satış Fiyatı $= x$ TL
Günlük Satış Miktarı $= 100 - 2x$ adet
Bu durumda günlük gelir fonksiyonumuz $R(x)$ şöyle olur:
$R(x) = x \times (100 - 2x)$
Parantezi dağıtarak fonksiyonu daha anlaşılır bir hale getirelim:
$R(x) = 100x - 2x^2$
Bu ifadeyi genellikle gördüğümüz ikinci dereceden fonksiyon (parabol) formunda yazarsak: $R(x) = -2x^2 + 100x$.
Elde ettiğimiz $R(x) = -2x^2 + 100x$ fonksiyonu, ikinci dereceden bir fonksiyondur (parabol). Bu tür fonksiyonların grafikleri bir parabol çizer.
Baş katsayısı (yani $x^2$'nin katsayısı) $-2$ olduğu için, parabolün kolları aşağıya doğrudur. Kolları aşağıya doğru olan bir parabolün tepe noktasında bir maksimum değeri vardır.
Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki ikinci dereceden fonksiyonun tepe noktasının $x$-koordinatı (yani maksimum veya minimum değerin gerçekleştiği $x$ değeri) şu formülle bulunur:
$x = -\frac{b}{2a}$
Bizim gelir fonksiyonumuz $R(x) = -2x^2 + 100x$ idi. Bu durumda:
$a = -2$
$b = 100$
Şimdi $x$ değerini bulmak için formülü kullanalım:
$x = -\frac{100}{2 \times (-2)}$
$x = -\frac{100}{-4}$
$x = 25$
Yani, günlük gelirin maksimum olması için malın satış fiyatı $25$ TL olmalıdır.
Bulduğumuz $x=25$ değeri seçenekler arasında mevcuttur.
Ayrıca, satış miktarı $100 - 2(25) = 100 - 50 = 50$ adet olur ki bu da pozitif ve mantıklı bir değerdir.
Maksimum gelir ise $R(25) = 25 \times (100 - 2 \times 25) = 25 \times (100 - 50) = 25 \times 50 = 1250$ TL olur.
Cevap B seçeneğidir.
