Soru:
Toplam uzunluğu 100 cm olan bir tel, bir karenin ve bir dairenin çevresi olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor. Karenin ve dairenin toplam alanının minimum olması için tel kaç cm'den kesilmelidir? ( \( \pi = 3 \) alınız.)
Çözüm:
💡 Toplam alanı, bir değişkene bağlı fonksiyon olarak ifade edip türevini alacağız.
- ➡️ Adım 1: Değişkeni tanımlayalım. Karenin çevresine \( 4a = x \) dersek, karenin bir kenarı \( a = \frac{x}{4} \) olur. Karenin alanı \( A_k = a^2 = \frac{x^2}{16} \) olur.
- ➡️ Adım 2: Dairenin çevresi \( 100 - x \) cm'dir. Dairenin çevresi \( 2\pi r = 100 - x \) olduğundan, yarıçap \( r = \frac{100 - x}{2\pi} \) olur. Dairenin alanı \( A_d = \pi r^2 = \pi \cdot \left( \frac{100 - x}{2\pi} \right)^2 = \frac{(100 - x)^2}{4\pi} \) olur.
- ➡️ Adım 3: Toplam alan fonksiyonu: \( A_{toplam}(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(100 - x)^2}{4\pi} \). \( \pi = 3 \) verildiği için yerine koyalım: \( A_{toplam}(x) = \frac{x^2}{16} + \frac{(100 - x)^2}{12} \).
- ➡️ Adım 4: Türev alalım: \( A'_{toplam}(x) = \frac{2x}{16} + \frac{2(100 - x)(-1)}{12} = \frac{x}{8} - \frac{100 - x}{6} \).
- ➡️ Adım 5: Türevi sıfıra eşitleyelim: \( \frac{x}{8} - \frac{100 - x}{6} = 0 \). Paydaları eşitleyelim (24): \( \frac{3x}{24} - \frac{4(100 - x)}{24} = 0 \). Buradan \( 3x - 400 + 4x = 0 \) ve \( 7x = 400 \) bulunur.
- ➡️ Adım 6: \( x = \frac{400}{7} \) cm.
✅ Toplam alanın minimum olması için tel, karenin çevresi \( \frac{400}{7} \) cm olacak şekilde kesilmelidir.
