Soru:
Bir çiftçi, dikdörtgen şeklindeki tarlasının bir kenarına hiç tel örmeden, diğer üç kenarına toplam 1200 metre tel kullanarak bir ahır yapacaktır. Ahırın alanının maksimum olması için kenar uzunlukları kaç metre olmalıdır?
Çözüm:
💡 Mevcut telle çevrilecek üç kenarın toplamı 1200 metre. Alanı maksimum yapan boyutları bulacağız.
- ➡️ 1. Adım: Değişkenleri tanımlayalım. Dikdörtgenin tel örülen iki paralel kenarına \( y \), tel örülmeyen ve bu iki kenara dik olan kenarına ise \( x \) diyelim. Duvar bu \( x \) kenarının arkasındadır.
- ➡️ 2. Adım: Tel kullanımını yazalım. Kullanılan tel: \( x + 2y = 1200 \). Buradan \( x = 1200 - 2y \) yazabiliriz.
- ➡️ 3. Adım: Alan fonksiyonunu yazalım. Alan \( A = x \cdot y \). \( x \) yerine yukarıdaki ifadeyi yazarsak:
\( A(y) = (1200 - 2y) \cdot y = 1200y - 2y^2 \)
- ➡️ 4. Adım: Türev alıp maksimum noktayı bulalım.
\( A'(y) = 1200 - 4y \)
\( 1200 - 4y = 0 \) → \( 4y = 1200 \) → \( y = 300 \) metre.
- ➡️ 5. Adım: \( x \)'i bulalım.
\( x = 1200 - 2 \cdot 300 = 1200 - 600 = 600 \) metre.
✅ Sonuç: Ahırın alanı maksimum olduğunda kenar uzunlukları 600 metre ve 300 metre olmalıdır.
