Soru:
Bir çiftçi, dikdörtgen şeklinde ve bir kenarı nehirle sınırlı olan bir araziyi 1800 metre uzunluğundaki bir telle çitle çevirecektir. Nehir tarafı çitle çevrilmeyeceğine göre, çiftçinin çevreleyebileceği maksimum alan kaç metrekaredir?
Çözüm:
💡 Nehrin bir kenarı kapattığını düşünerek, kullanılacak tel miktarını dikdörtgenin diğer üç kenarı için harcayacağız.
- ➡️ Adım 1: Değişkenleri tanımlayalım. Nehire paralel olan kenarın uzunluğu \( x \) metre, nehire dik olan kenarların her birinin uzunluğu \( y \) metre olsun.
- ➡️ Adım 2: Tel kısıtını yazalım. Nehir tarafı çevrilmediği için toplam tel uzunluğu: \( x + 2y = 1800 \).
- ➡️ Adım 3: Alan fonksiyonunu yazalım: \( A = x \cdot y \). Bir değişkene indirgemek için \( x = 1800 - 2y \) yazabiliriz. O halde \( A(y) = (1800 - 2y) \cdot y = 1800y - 2y^2 \).
- ➡️ Adım 4: Türev alalım: \( A'(y) = 1800 - 4y \).
- ➡️ Adım 5: Türevi sıfıra eşitleyelim: \( 1800 - 4y = 0 \) → \( 4y = 1800 \) → \( y = 450 \) metre.
- ➡️ Adım 6: \( y = 450 \) için \( x \)'i bulalım: \( x = 1800 - 2(450) = 900 \) metre.
- ➡️ Adım 7: Maksimum alanı hesaplayalım: \( A = 900 \cdot 450 = 405.000 \) m².
✅ Sonuç: Çiftçinin çevreleyebileceği maksimum alan 405.000 metrekare'dir.
