Soru:
Toplam uzunluğu 100 cm olan bir tel, bir karenin ve bir dairenin çevresi olacak şekilde iki parçaya ayrılıyor. Karenin ve dairenin toplam alanının minimum olması için tel kareden ne kadar uzunlukta kesilmelidir? (\( \pi = 3 \) alınız)
Çözüm:
💡 Toplam alanı, kareye ayrılan tel uzunluğunun bir fonksiyonu olarak yazıp türev alacağız.
- ➡️ Adım 1: Değişkeni tanımlayalım. Karenin çevresi \( k \) cm olsun. O halde dairenin çevresi \( 100 - k \) cm olur.
- ➡️ Adım 2: Her şeklin alanını bulalım.
- Karenin bir kenarı \( \frac{k}{4} \) cm, alanı \( A_k = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} \).
- Dairenin yarıçapı \( r = \frac{100 - k}{2\pi} \), alanı \( A_d = \pi r^2 = \pi \left( \frac{100 - k}{2\pi} \right)^2 = \frac{(100 - k)^2}{4\pi} \).
- ➡️ Adım 3: Toplam alan fonksiyonunu yazalım: \( A_{toplam}(k) = \frac{k^2}{16} + \frac{(100 - k)^2}{4\pi} \). \( \pi = 3 \) verildiği için yerine koyalım: \( A_{toplam}(k) = \frac{k^2}{16} + \frac{(100 - k)^2}{12} \).
- ➡️ Adım 4: Türev alalım: \( A'_{toplam}(k) = \frac{2k}{16} + \frac{2(100 - k)(-1)}{12} = \frac{k}{8} - \frac{100 - k}{6} \).
- ➡️ Adım 5: Türevi sıfıra eşitleyelim: \( \frac{k}{8} - \frac{100 - k}{6} = 0 \). Paydaları eşitlemek için her terimi 24 ile çarpalım: \( 3k - 4(100 - k) = 0 \). Bu denklemi çözelim: \( 3k - 400 + 4k = 0 \) → \( 7k = 400 \) → \( k = \frac{400}{7} \).
- ➡️ Adım 6: Bu kritik noktanın minimum olduğunu türevin işaret tablosu veya ikinci türevle kontrol edebiliriz. İkinci türev \( A''(k) = \frac{1}{8} + \frac{1}{6} > 0 \) olduğundan, bu nokta bir minimumdur.
✅ Sonuç: Toplam alanın minimum olması için telin \( \frac{400}{7} \) cm'lik kısmı kare için kullanılmalıdır.
