Soru:
Bir kenar uzunluğu 40 cm olan kare şeklindeki bir mukavvanın köşelerinden, bir kenar uzunluğu \( x \) cm olan kareler kesilerek çıkarılıyor. Kalan parça, yukarı doğru katlanarak üstü açık bir kutu elde ediliyor. Bu kutunun hacminin maksimum olması için \( x \) kaç cm olmalıdır?
Çözüm:
💡 Kutunun hacmini bir fonksiyon olarak yazıp türev alarak maksimum noktasını bulacağız.
- ➡️ 1. Adım: Kutunun boyutlarını belirleyelim. Mukavvanın kenarı 40 cm. Her iki uçtan \( x \) cm kesildiği için kutunun taban kenarı \( (40 - 2x) \) cm olur. Yüksekliği ise kesilen karenin kenarı, yani \( x \) cm'dir.
- ➡️ 2. Adım: Hacim fonksiyonunu yazalım. Hacim \( V \), taban alanı çarpı yüksekliktir.
\( V(x) = (40 - 2x)^2 \cdot x = (1600 - 160x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 160x^2 + 1600x \)
- ➡️ 3. Adım: Hacmi maksimum yapan \( x \) değerini bulmak için türev alıp sıfıra eşitleyelim.
\( V'(x) = 12x^2 - 320x + 1600 \)
\( 12x^2 - 320x + 1600 = 0 \) (Her terimi 4'e bölelim)
\( 3x^2 - 80x + 400 = 0 \)
- ➡️ 4. Adım: İkinci dereceden denklemi çözelim.
Diskriminant: \( \Delta = (-80)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 400 = 6400 - 4800 = 1600 \)
\( x = \frac{80 \pm \sqrt{1600}}{2 \cdot 3} = \frac{80 \pm 40}{6} \)
\( x_1 = \frac{80 + 40}{6} = 20 \), \( x_2 = \frac{80 - 40}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \)
- ➡️ 5. Adım: Mantıklı olan değeri seçelim. \( x = 20 \) cm olsaydı, taban kenarı \( 40 - 2*20 = 0 \) olurdu, bu mümkün değil. O halde \( x = \frac{20}{3} \) cm'dir.
✅ Sonuç: Kutunun hacminin maksimum olması için \( x = \frac{20}{3} \) cm olmalıdır.
