Soru:
Bir ürünün satış fiyatı \( p(x) = 50 - 0.1x \) TL ve toplam maliyet fonksiyonu \( C(x) = 5000 + 10x \) TL olarak veriliyor. Burada \( x \) üretilen miktardır. Kar fonksiyonunu maksimum yapan \( x \) değerini ve maksimum karı bulunuz.
Çözüm:
💡 Önce gelir ve kar fonksiyonlarını yazacağız, sonra kar fonksiyonunun türevini alıp maksimum noktayı bulacağız.
- ➡️ Adım 1: Gelir fonksiyonunu yazalım. Gelir = Birim Fiyat × Miktar. \( R(x) = p(x) \cdot x = (50 - 0.1x)x = 50x - 0.1x^2 \).
- ➡️ Adım 2: Kar fonksiyonunu yazalım. Kar = Gelir - Maliyet. \( P(x) = R(x) - C(x) = (50x - 0.1x^2) - (5000 + 10x) \). Sadeleştirelim: \( P(x) = -0.1x^2 + 40x - 5000 \).
- ➡️ Adım 3: Kar fonksiyonunun türevini alalım: \( P'(x) = -0.2x + 40 \).
- ➡️ Adım 4: Türevi sıfıra eşitleyip kritik noktayı bulalım: \( -0.2x + 40 = 0 \) → \( 0.2x = 40 \) → \( x = 200 \) birim.
- ➡️ Adım 5: Bu noktanın maksimum olduğunu kontrol edelim. İkinci türev \( P''(x) = -0.2 < 0 \) olduğu için, \( x = 200 \) bir maksimum noktasıdır.
- ➡️ Adım 6: Maksimum karı bulmak için \( x = 200 \)'ü kar fonksiyonunda yerine koyalım: \( P(200) = -0.1(200)^2 + 40(200) - 5000 \). Hesaplayalım: \( P(200) = -0.1(40000) + 8000 - 5000 = -4000 + 8000 - 5000 = -1000 + 8000 = 7000 \) TL.
✅ Sonuç: Karı maksimum yapan üretim miktarı 200 birim ve maksimum kar 7.000 TL'dir.
