Soru:
Bir kenar uzunluğu 20 cm olan kare şeklindeki bir kartondan, köşelerinden bir kenar uzunluğu \( x \) cm olan kareler kesilerek çıkarılıyor ve kalan parçalar katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin maksimum olması için \( x \) kaç cm olmalıdır?
Çözüm:
💡 Kutunun hacmini bir fonksiyon olarak yazıp türev alarak maksimum noktasını bulacağız.
- ➡️ Adım 1: Kutunun boyutlarını belirleyelim. Taban, kenarı \( 20 - 2x \) cm olan bir karedir. Yükseklik ise \( x \) cm'dir.
- ➡️ Adım 2: Hacim fonksiyonunu yazalım: \( V(x) = (20 - 2x)^2 \cdot x \).
- ➡️ Adım 3: Fonksiyonu sadeleştirelim: \( V(x) = (400 - 80x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 80x^2 + 400x \).
- ➡️ Adım 4: Türev alalım: \( V'(x) = 12x^2 - 160x + 400 \).
- ➡️ Adım 5: Türevi sıfıra eşitleyip kritik noktaları bulalım: \( 12x^2 - 160x + 400 = 0 \). İki tarafı da 4'e bölelim: \( 3x^2 - 40x + 100 = 0 \). Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (3x - 10)(x - 10) = 0 \). Buradan \( x = \frac{10}{3} \) ve \( x = 10 \) bulunur.
- ➡️ Adım 6: Anlamlı aralığı kontrol edelim. \( x \) 0'dan büyük ve 10'dan küçük olmalıdır (çünkü 20 - 2x > 0). \( x = 10 \) için taban kenarı 0 olur, bu da anlamsızdır. Bu nedenle tek aday \( x = \frac{10}{3} \) cm'dir.
✅ Sonuç: Hacmin maksimum olması için \( x = \frac{10}{3} \) cm olmalıdır.
