Soru:
\( x \) ve \( y \) pozitif gerçel sayılar olmak üzere, \( x \cdot y = 64 \) veriliyor. Buna göre, \( x + 2y \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm:
💡 Çarpımları sabit olan iki pozitif sayının, belirli bir katlı toplamının minimumunu bulacağız.
- ➡️ 1. Adım: Verilenleri kullanarak bir değişkene bağlı fonksiyon yazalım.
\( x \cdot y = 64 \) olduğundan, \( x = \frac{64}{y} \) yazabiliriz.
- ➡️ 2. Adım: Toplam ifadesini \( y \) cinsinden yazalım.
\( S(y) = x + 2y = \frac{64}{y} + 2y \)
- ➡️ 3. Adım: Türev alıp minimum noktasını bulalım.
\( S'(y) = -\frac{64}{y^2} + 2 \)
\( -\frac{64}{y^2} + 2 = 0 \) → \( 2 = \frac{64}{y^2} \) → \( 2y^2 = 64 \) → \( y^2 = 32 \) → \( y = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \) (Pozitif olduğu için)
- ➡️ 4. Adım: \( x \) değerini bulalım.
\( x = \frac{64}{y} = \frac{64}{4\sqrt{2}} = \frac{16}{\sqrt{2}} = 8\sqrt{2} \)
- ➡️ 5. Adım: Minimum toplam değerini hesaplayalım.
\( S_{min} = x + 2y = 8\sqrt{2} + 2 \cdot (4\sqrt{2}) = 8\sqrt{2} + 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \)
✅ Sonuç: \( x + 2y \) ifadesinin alabileceği en küçük değer \( 16\sqrt{2} \)'dir.
