Soru:
Toplam uzunluğu 100 metre olan bir tel, bir kısmı ile bir kare, kalan kısmı ile bir çember yapmak için kullanılıyor. Kare ve çemberin alanları toplamının minimum olması için telin kaç metresi kareyi oluşturmak için kullanılmalıdır? (\( \pi = 3 \) alınız)
Çözüm:
💡 Toplam alanı, kare için kullanılan tel miktarının bir fonksiyonu olarak yazıp minimumunu bulacağız.
- ➡️ 1. Adım: Değişkeni tanımlayalım. Karenin çevresi \( k \) metre olsun. O halde çemberin çevresi \( (100 - k) \) metre olur.
- ➡️ 2. Adım: Her bir şeklin alanını bulalım.
- Karenin bir kenarı \( \frac{k}{4} \) metre, alanı \( A_k = \left(\frac{k}{4}\right)^2 = \frac{k^2}{16} \).
- Çemberin çevresi \( 2\pi r = 100 - k \). \( \pi = 3 \) verildiği için \( 2 \cdot 3 \cdot r = 100 - k \) → \( 6r = 100 - k \) → \( r = \frac{100 - k}{6} \).
- Çemberin alanı \( A_c = \pi r^2 = 3 \cdot \left( \frac{100 - k}{6} \right)^2 = 3 \cdot \frac{(100 - k)^2}{36} = \frac{(100 - k)^2}{12} \).
- ➡️ 3. Adım: Toplam alan fonksiyonunu yazalım.
\( A_{toplam}(k) = \frac{k^2}{16} + \frac{(100 - k)^2}{12} \)
- ➡️ 4. Adım: Türev alıp sıfıra eşitleyelim.
\( A'(k) = \frac{2k}{16} + \frac{2(100 - k) \cdot (-1)}{12} = \frac{k}{8} - \frac{100 - k}{6} \)
\( \frac{k}{8} - \frac{100 - k}{6} = 0 \) (Paydaları eşitleyelim, EKOK(8,6)=24)
\( \frac{3k}{24} - \frac{4(100 - k)}{24} = 0 \) → \( 3k - 400 + 4k = 0 \)
\( 7k = 400 \) → \( k = \frac{400}{7} \)
✅ Sonuç: Toplam alanın minimum olması için telin \( \frac{400}{7} \) metresi kareyi oluşturmak için kullanılmalıdır.
