Soru:
Bir kenar uzunluğu 20 cm olan kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden, bir kenar uzunluğu \( x \) cm olan kareler kesilerek çıkartılıyor. Kalan parça ile yukarı doğru katlanarak üstü açık bir kutu yapılıyor. Bu kutunun hacminin maksimum olması için \( x \) kaç cm olmalıdır?
Çözüm:
💡 Kutunun hacmini bir fonksiyon olarak yazıp türev alarak maksimum noktasını bulacağız.
- ➡️ Adım 1: Kutunun boyutlarını belirleyelim. Taban, kenarı \( (20 - 2x) \) cm olan bir karedir. Yükseklik ise \( x \) cm'dir.
- ➡️ Adım 2: Hacim fonksiyonunu yazalım: \( V(x) = (20 - 2x)^2 \cdot x \).
- ➡️ Adım 3: Fonksiyonu sadeleştirelim: \( V(x) = (400 - 80x + 4x^2) \cdot x = 4x^3 - 80x^2 + 400x \).
- ➡️ Adım 4: Türev alalım: \( V'(x) = 12x^2 - 160x + 400 \).
- ➡️ Adım 5: Türevi sıfıra eşitleyip \( x \) değerlerini bulalım: \( 12x^2 - 160x + 400 = 0 \). İki tarafı da 4'e bölelim: \( 3x^2 - 40x + 100 = 0 \). Bu ikinci dereceden denklemi çözelim: \( \Delta = 1600 - 1200 = 400 \), \( \sqrt{\Delta} = 20 \). O halde, \( x = \frac{40 \pm 20}{6} \). Yani \( x_1 = 10 \), \( x_2 = \frac{10}{3} \).
- ➡️ Adım 6: \( x = 10 \) cm olsaydı, taban kenarı \( 20 - 20 = 0 \) olurdu, bu mümkün değil. O halde kritik nokta \( x = \frac{10}{3} \) cm'dir.
✅ Kutunun hacminin maksimum olması için \( x = \frac{10}{3} \) cm olmalıdır.
