Soru:
Bir çiftçi, dikdörtgen şeklindeki tarlasının bir kenarına hiç tel örmeden, diğer üç kenarına toplam 1200 metre tel kullanarak en geniş alana sahip tarlayı çevirmek istiyor. Tarlanın boyutları ve maksimum alanı nedir?
Çözüm:
💡 Mevcut tel ile en büyük dikdörtgen alanını bulmamız gerekiyor.
- ➡️ Adım 1: Dikdörtgenin tel örülmeyen kenarına "genişlik" diyelim. Tel örülen iki uzunluk ve bir genişlik var. Toplam tel: \( 2a + b = 1200 \) metre (Burada \( a \) uzunluk, \( b \) genişlik olsun).
- ➡️ Adım 2: Alan fonksiyonu: \( A = a \cdot b \). \( b \)'yi \( a \) cinsinden yazalım: \( b = 1200 - 2a \). O halde \( A(a) = a \cdot (1200 - 2a) = 1200a - 2a^2 \).
- ➡️ Adım 3: Türev alalım: \( A'(a) = 1200 - 4a \).
- ➡️ Adım 4: Türevi sıfıra eşitleyelim: \( 1200 - 4a = 0 \) → \( 4a = 1200 \) → \( a = 300 \) metre.
- ➡️ Adım 5: \( b = 1200 - 2(300) = 600 \) metre.
- ➡️ Adım 6: Maksimum alan: \( A = 300 \cdot 600 = 180.000 \) m².
✅ Tarlanın boyutları 300 m x 600 m olmalı ve maksimum alan 180.000 m² olur.
