Maksimum minimum problemleri Test 1

\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) fonksiyonunun yerel minimum değeri kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Bir fonksiyonun yerel minimum değerini bulmak için türev alma ve kritik noktaları analiz etme adımlarını takip etmeliyiz. İşte adım adım çözüm:

• 1. Adım: Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma

• Yerel minimum veya maksimum noktaları bulmak için öncelikle fonksiyonun birinci türevini ($f'(x)$) almalıyız. Türev, bir fonksiyonun eğimini temsil eder ve eğimin sıfır olduğu noktalar potansiyel yerel ekstremum noktalarıdır.

  Verilen fonksiyon: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$

  Türevini alalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(9x) + \frac{d}{dx}(2)$

  $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

• 2. Adım: Kritik Noktaları Bulma

• Kritik noktalar, fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu noktalardır. Bu tür polinom fonksiyonlarda türev her yerde tanımlıdır, bu yüzden sadece türevi sıfıra eşitlememiz yeterlidir.

  $f'(x) = 0$ eşitliğini çözelim:

  $3x^2 - 12x + 9 = 0$

  Denklemi basitleştirmek için her tarafı $3$'e bölelim:

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $3$, toplamları $-4$ olan iki sayı $-1$ ve $-3$'tür.

  $(x - 1)(x - 3) = 0$

  Buradan kritik noktalarımızı buluruz:

  $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

  $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

• 3. Adım: Yerel Minimum Noktasını Belirleme (İkinci Türev Testi)

• Kritik noktaların yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu belirlemek için ikinci türev testini kullanabiliriz. Fonksiyonun ikinci türevini ($f''(x)$) alıp kritik noktaları yerine yazarız:

  • Eğer $f''(c) > 0$ ise, $x=c$ noktasında yerel minimum vardır.
  • Eğer $f''(c) < 0$ ise, $x=c$ noktasında yerel maksimum vardır.

  Birinci türevimiz: $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

  İkinci türevini alalım:

  $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(12x) + \frac{d}{dx}(9)$

  $f''(x) = 6x - 12$

  Şimdi kritik noktalarımızı ikinci türevde yerine yazalım:

  • $x = 1$ için:
  • $f''(1) = 6(1) - 12 = 6 - 12 = -6$
  • $f''(1) = -6 < 0$ olduğu için $x=1$ noktasında bir yerel maksimum vardır.
  • $x = 3$ için:
  • $f''(3) = 6(3) - 12 = 18 - 12 = 6$
  • $f''(3) = 6 > 0$ olduğu için $x=3$ noktasında bir yerel minimum vardır.
• 4. Adım: Yerel Minimum Değerini Hesaplama

• Yerel minimumun $x=3$ noktasında olduğunu belirledik. Şimdi bu $x$ değerini orijinal fonksiyonda yerine yazarak yerel minimum değerini bulalım.

  $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2$

  $f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 2$

  $f(3) = 27 - 6(9) + 27 + 2$

  $f(3) = 27 - 54 + 27 + 2$

  $f(3) = (27 + 27) - 54 + 2$

  $f(3) = 54 - 54 + 2$

  $f(3) = 2$

Buna göre, fonksiyonun yerel minimum değeri $2$'dir.

Cevap A seçeneğidir.