Sevgili öğrenciler, bu soruyu çözmek için logaritmanın temel özelliklerinden birini kullanacağız. Soruda bize verilen bilgi ve denklemi adım adım inceleyelim.
- Logaritmanın Temel Özelliği: Soruda bize $\log_a a = 1$ olduğu hatırlatılıyor. Bu özellik, bir logaritmanın tabanı ile logaritması alınan sayının (argümanının) aynı olması durumunda sonucun her zaman $1$ olacağını ifade eder. Örneğin, $\log_5 5 = 1$ veya $\log_{10} 10 = 1$ gibi.
- Denklemi İnceleyelim: Bize verilen denklem $\log_2 (2^{x-3}) = 1$. Bu denklemde logaritmanın tabanı $2$'dir.
- Özelliği Uygulayalım: Eğer $\log_2 (\text{bir sayı}) = 1$ ise, logaritması alınan sayının tabana eşit olması gerekir. Yani, $\log_2 (\text{bir sayı}) = 1$ ise, o "bir sayı" $2$ olmalıdır.
- Argümanı Tabana Eşitleyelim: Bizim denklemimizde logaritması alınan sayı (argüman) $2^{x-3}$'tür. Bu durumda, temel logaritma özelliğine göre, argüman olan $2^{x-3}$'ü taban olan $2$'ye eşitlemeliyiz.
Yani, $2^{x-3} = 2$ olmalıdır.
- Üslü Denklemi Çözelim: Şimdi elimizde bir üslü denklem var: $2^{x-3} = 2$.
Unutmayın ki $2$ sayısı aynı zamanda $2^1$ olarak da yazılabilir. O zaman denklemimiz $2^{x-3} = 2^1$ haline gelir.
Üslü denklemlerde tabanlar eşitse, üsler de eşit olmak zorundadır. Bu durumda:
$x-3 = 1$
- $x$ Değerini Bulalım: Son olarak, $x-3 = 1$ denklemini çözerek $x$ değerini buluruz.
$x = 1 + 3$
$x = 4$
Böylece denklemi sağlayan $x$ değerini $4$ olarak bulmuş oluruz.
Cevap D seçeneğidir.
