Bağımlı ve bağımsız olaylar (Olasılık) Test 2

Bir fabrikada A makinesinin ürettiği ürünlerin %10'u, B makinesinin ürettiği ürünlerin %15'i hatalıdır. Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığı 0,12 olduğuna göre, A makinesinin üretim payı yüzde kaçtır?

A) 40
B) 50
C) 60
D) 70
E) 80

Bu problemde, iki farklı makinenin üretiminden gelen ürünlerin hatalı olma olasılıkları ve genel hatalı ürün olasılığı verilmiş. Bizden, A makinesinin toplam üretimdeki payını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler, toplam olasılık kuralı kullanılarak çözülür.

• Verilen Bilgileri Tanımlayalım:

  Öncelikle, problemde bize verilen bilgileri matematiksel olarak ifade edelim:

  • A makinesinin ürettiği ürünlerin hatalı olma olasılığı: $P(\text{Hatalı} | \text{A}) = 10\% = 0.10$
  • B makinesinin ürettiği ürünlerin hatalı olma olasılığı: $P(\text{Hatalı} | \text{B}) = 15\% = 0.15$
  • Rastgele seçilen bir ürünün hatalı olma olasılığı: $P(\text{Hatalı}) = 0.12$

  Bizden istenen ise A makinesinin üretim payı, yani $P(A)$ değeridir.

• Değişkenleri Tanımlayalım:

  A makinesinin üretim payına $P(A)$ diyelim. Eğer A makinesinin üretim payı $P(A)$ ise, B makinesinin üretim payı $P(B)$ olacaktır. Fabrikadaki tüm ürünler ya A ya da B makinesinden geldiği için, bu iki payın toplamı 1'e eşit olmalıdır:

  $P(A) + P(B) = 1$

  Bu durumda, eğer $P(A) = x$ dersek, $P(B) = 1 - x$ olacaktır.

• Toplam Olasılık Kuralını Uygulayalım:

  Bir ürünün hatalı olma olasılığı ($P(\text{Hatalı})$), A makinesinden gelip hatalı olma olasılığı ile B makinesinden gelip hatalı olma olasılığının toplamına eşittir. Bu, toplam olasılık kuralı ile ifade edilir:

  $P(\text{Hatalı}) = P(\text{Hatalı} | \text{A}) \cdot P(A) + P(\text{Hatalı} | \text{B}) \cdot P(B)$

• Denklemi Kuralım ve Çözelim:

  Şimdi bildiğimiz değerleri ve tanımladığımız değişkenleri denkleme yerleştirelim:

  $0.12 = (0.10) \cdot x + (0.15) \cdot (1 - x)$

  Denklemi adım adım çözelim:

  • Parantezi dağıtalım: $0.12 = 0.10x + 0.15 - 0.15x$
  • Benzer terimleri birleştirelim: $0.12 = 0.15 - 0.05x$
  • $0.05x$ terimini sol tarafa, $0.12$ terimini sağ tarafa alalım: $0.05x = 0.15 - 0.12$
  • Çıkarma işlemini yapalım: $0.05x = 0.03$
  • $x$'i bulmak için her iki tarafı $0.05$'e bölelim: $x = \frac{0.03}{0.05}$
  • Kesri sadeleştirelim: $x = \frac{3}{5}$
  • Ondalık sayıya çevirelim: $x = 0.6$
• Sonucu Yüzde Olarak İfade Edelim:

  A makinesinin üretim payı $x = 0.6$ olarak bulundu. Bunu yüzdeye çevirmek için $100$ ile çarparız:

  $0.6 \cdot 100\% = 60\%$

  Yani, A makinesinin üretim payı %60'tır.

Cevap C seçeneğidir.