Bağımlı ve bağımsız olaylar (Olasılık) Test 2

Bir torbada 4 beyaz, 6 siyah top vardır. Geri atılmaksızın art arda çekilen iki topun farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

A) 8/15
B) 4/15
C) 2/5
D) 1/3
E) 2/3

Bu olasılık sorusunu adım adım, anlaşılır bir şekilde çözelim.

• 1. Adım: Toplam Top Sayısını Belirleyelim

  Torbadaki beyaz top sayısı: 4

  Torbadaki siyah top sayısı: 6

  Toplam top sayısı: $4 + 6 = 10$ top.

• 2. Adım: İstenen Durumu Anlayalım

  Geri atılmaksızın art arda çekilen iki topun farklı renkte olması isteniyor. Bu durum iki farklı senaryoda gerçekleşebilir:

  Senaryo 1: Birinci top beyaz, ikinci top siyah.

  Senaryo 2: Birinci top siyah, ikinci top beyaz.

  Bu iki senaryonun olasılıklarını ayrı ayrı hesaplayıp sonra toplayacağız.

• 3. Adım: Senaryo 1'i Hesaplayalım (Birinci Beyaz, İkinci Siyah)

  İlk topun beyaz olma olasılığı: Torbada 10 top var ve 4'ü beyaz. Bu durumda ilk çekilen topun beyaz olma olasılığı:

  $P(\text{1. Beyaz}) = \frac{4}{10}$

  İkinci topun siyah olma olasılığı (ilk top beyaz çekildikten sonra): İlk top beyaz çekilip dışarıda kaldığı için torbada artık $10 - 1 = 9$ top kalmıştır. Beyaz top sayısı 3'e düşerken, siyah top sayısı hala 6'dır.

  Bu durumda ikinci çekilen topun siyah olma olasılığı:

  $P(\text{2. Siyah | 1. Beyaz}) = \frac{6}{9}$

  Senaryo 1'in toplam olasılığı: Bu iki olasılığı çarparız:

  $P(\text{1. Beyaz ve 2. Siyah}) = \frac{4}{10} \times \frac{6}{9} = \frac{2}{5} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{15}$

• 4. Adım: Senaryo 2'yi Hesaplayalım (Birinci Siyah, İkinci Beyaz)

  İlk topun siyah olma olasılığı: Torbada 10 top var ve 6'sı siyah. Bu durumda ilk çekilen topun siyah olma olasılığı:

  $P(\text{1. Siyah}) = \frac{6}{10}$

  İkinci topun beyaz olma olasılığı (ilk top siyah çekildikten sonra): İlk top siyah çekilip dışarıda kaldığı için torbada yine $10 - 1 = 9$ top kalmıştır. Siyah top sayısı 5'e düşerken, beyaz top sayısı hala 4'tür.

  Bu durumda ikinci çekilen topun beyaz olma olasılığı:

  $P(\text{2. Beyaz | 1. Siyah}) = \frac{4}{9}$

  Senaryo 2'nin toplam olasılığı: Bu iki olasılığı çarparız:

  $P(\text{1. Siyah ve 2. Beyaz}) = \frac{6}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{3}{5} \times \frac{4}{9} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15}$

• 5. Adım: Tüm Olasılıkları Toplayalım

  Farklı renkte top çekme olasılığı, bu iki senaryonun olasılıklarının toplamıdır (çünkü bu senaryolar aynı anda gerçekleşemez, yani ayrık olaylardır):

  $P(\text{Farklı Renkte}) = P(\text{1. Beyaz ve 2. Siyah}) + P(\text{1. Siyah ve 2. Beyaz})$

  $P(\text{Farklı Renkte}) = \frac{4}{15} + \frac{4}{15} = \frac{8}{15}$

Gördüğünüz gibi, adım adım ilerlediğimizde sonuca kolayca ulaştık. Olasılık sorularında her adımı dikkatlice düşünmek ve olasılıkları doğru bir şekilde çarpmak veya toplamak çok önemlidir.

Cevap A seçeneğidir.