Bağımlı ve bağımsız olaylar (Olasılık) Test 2

P(A) = 0,5, P(B) = 0,4 ve P(A ∩ B) = 0,2 olduğuna göre, A ve B olayları için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?

A) A ve B ayrık olaylardır
B) A ve B bağımsız olaylardır
C) A ve B özdeş olaylardır
D) A ve B bağımlı olaylardır
E) A ve B'nin birleşimi 1'dir

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, verilen olasılık değerlerini kullanarak iki olayın (A ve B) arasındaki ilişkiyi belirleyeceğiz. Olasılık kavramlarını hatırlayarak adım adım ilerleyelim.

• Verilen Bilgiler:
  • $P(A) = 0,5$ (A olayının gerçekleşme olasılığı)
  • $P(B) = 0,4$ (B olayının gerçekleşme olasılığı)
  • $P(A \cap B) = 0,2$ (A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı)
• Seçenekleri Tek Tek İnceleyelim:
• A) A ve B ayrık olaylardır:

  İki olayın ayrık olması (mutually exclusive) demek, bu olayların aynı anda gerçekleşememesi demektir. Matematiksel olarak bu durum, $P(A \cap B) = 0$ olmasıyla ifade edilir.

  Bizim sorumuzda $P(A \cap B) = 0,2$ olarak verilmiştir. $0,2 \neq 0$ olduğu için A ve B olayları ayrık değildir. Dolayısıyla A seçeneği yanlıştır.

• B) A ve B bağımsız olaylardır:

  İki olayın bağımsız olması (independent) demek, bir olayın gerçekleşmesinin diğer olayın gerçekleşme olasılığını etkilememesi demektir. Matematiksel olarak bu durum, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ eşitliğiyle kontrol edilir.

  Şimdi bu eşitliği kontrol edelim:

  • $P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,4 = 0,20$
  • Soruda verilen $P(A \cap B) = 0,2$

  Gördüğümüz gibi, $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ eşitliği sağlanmaktadır ($0,2 = 0,2$). Bu durumda A ve B olayları bağımsız olaylardır. Dolayısıyla B seçeneği doğrudur.

• C) A ve B özdeş olaylardır:

  İki olayın özdeş olması demek, bu iki olayın aslında aynı olay olması demektir ($A=B$). Bu durumda $P(A) = P(B)$ ve $P(A \cap B) = P(A)$ olması gerekir.

  Bizim sorumuzda $P(A) = 0,5$ ve $P(B) = 0,4$ olarak verilmiştir. $P(A) \neq P(B)$ olduğu için A ve B özdeş olaylar değildir. Dolayısıyla C seçeneği yanlıştır.

• D) A ve B bağımlı olaylardır:

  İki olayın bağımlı olması (dependent) demek, bir olayın gerçekleşmesinin diğer olayın gerçekleşme olasılığını etkilemesi demektir. Bu durum, bağımsızlık koşulunun sağlanmaması, yani $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$ olmasıyla ifade edilir.

  Yukarıda B seçeneğini incelerken A ve B olaylarının bağımsız olduğunu bulduk. Bağımsız olan olaylar aynı zamanda bağımlı olamaz. Dolayısıyla D seçeneği yanlıştır.

• E) A ve B'nin birleşimi 1'dir:

  A ve B olaylarının birleşiminin olasılığı $P(A \cup B)$ formülüyle hesaplanır: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.

  Şimdi bu değeri hesaplayalım:

  • $P(A \cup B) = 0,5 + 0,4 - 0,2$
  • $P(A \cup B) = 0,9 - 0,2$
  • $P(A \cup B) = 0,7$

  A ve B'nin birleşiminin olasılığı $0,7$'dir. Bu değer $1$'e eşit değildir. Dolayısıyla E seçeneği yanlıştır.

Yapılan tüm incelemeler sonucunda, A ve B olaylarının bağımsız olduğu sonucuna vardık.

Cevap B seçeneğidir.