Maksimum minimum problemleri Test 2

Bir dikdörtgenin çevresi 40 cm'dir. Bu dikdörtgenin alanının maksimum değeri kaç cm²'dir?

A) 100
B) 120
C) 80
D) 90

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, belirli bir çevreye sahip bir dikdörtgenin alanının en büyük değerini bulmamız isteniyor. Bu tür problemler genellikle matematiksel optimizasyon konularına girer ve günlük hayatta da karşımıza çıkabilecek durumları modellememize yardımcı olur. Şimdi adım adım bu soruyu çözelim:

• 1. Dikdörtgenin Kenarlarını Tanımlayalım:

  Bir dikdörtgenin iki farklı kenarı vardır: uzun kenar ve kısa kenar. Bu kenarlara sırasıyla $a$ ve $b$ diyelim.

• 2. Çevre Bilgisini Kullanarak Kenarlar Arasındaki İlişkiyi Bulalım:

  Dikdörtgenin çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır ve $2(a+b)$ formülüyle hesaplanır. Soruda çevrenin 40 cm olduğu verilmiş.

  $2(a+b) = 40$ cm

  Her iki tarafı 2'ye bölersek, kenarların toplamını buluruz:

  $a+b = 20$ cm

  Bu, dikdörtgenin kenarlarının toplamının her zaman 20 cm olması gerektiği anlamına gelir.

• 3. Alan Formülünü Yazalım:

  Bir dikdörtgenin alanı, kenarlarının çarpımıyla bulunur: $A = a \times b$. Bizden bu alanın alabileceği maksimum değeri bulmamız isteniyor.

• 4. Alan İfadesini Tek Değişkene Bağlayalım:

  Şu anda alan ifadesi ($A = a \times b$) iki değişkene bağlı. Ancak $a+b=20$ eşitliğini kullanarak bu ifadeyi tek değişkene indirebiliriz. $b = 20-a$ yazabiliriz. Şimdi bu ifadeyi alan formülünde yerine koyalım:

  $A = a \times (20-a)$

  $A = 20a - a^2$

  Bu ifadeyi daha düzenli yazarsak: $A = -a^2 + 20a$.

• 5. Maksimum Alanı Bulmak İçin Parabol Özelliğini Kullanalım:

  Elde ettiğimiz $A = -a^2 + 20a$ ifadesi, $y = -x^2 + 20x$ şeklindeki bir parabol denklemine benzer. Bu tür denklemlerin grafikleri bir parabol oluşturur. Katsayısı negatif olduğu için ($-a^2$ terimindeki $-1$), bu parabolün kolları aşağıya doğrudur. Kolları aşağıya doğru olan bir parabolün en yüksek noktası (tepe noktası), onun maksimum değerini verir.

  Bir parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı (bizim durumumuzda $a$ değeri), $x = -B/(2A_{katsayı})$ formülüyle bulunur. Burada $A_{katsayı}$ parabolün $x^2$ teriminin katsayısı, $B$ ise $x$ teriminin katsayısıdır.

  Bizim denklemimizde $A = -a^2 + 20a$ olduğu için:

  • $A_{katsayı} = -1$ ($-a^2$ teriminin katsayısı)
  • $B = 20$ ($20a$ teriminin katsayısı)

  Şimdi $a$ değerini bulalım:

  $a = -20 / (2 \times (-1))$

  $a = -20 / -2$

  $a = 10$ cm

  Bu, dikdörtgenin bir kenarının 10 cm olduğunda alanının maksimum olacağı anlamına gelir.

• 6. Diğer Kenarı ve Maksimum Alanı Hesaplayalım:

  Eğer $a=10$ cm ise, $a+b=20$ eşitliğinden diğer kenarı bulabiliriz:

  $10+b = 20 \Rightarrow b = 10$ cm

  Gördüğümüz gibi, alanın maksimum olduğu durumda dikdörtgenin kenarları birbirine eşit oluyor, yani bu bir karedir.

  Şimdi maksimum alanı hesaplayalım:

  $A_{maks} = a \times b = 10 \times 10 = 100$ cm²

Bu durumda, çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin alabileceği en büyük alan 100 cm²'dir. Bu da bir kenarı 10 cm olan bir kareye karşılık gelir.

Cevap A seçeneğidir.