Toplamları 24 olan iki pozitif sayının kareleri toplamının minimum değeri kaçtır?
A) 288Bu soruda, toplamları belirli bir değere eşit olan iki pozitif sayının kareleri toplamının en küçük değerini bulmamız isteniyor. Bu tür optimizasyon problemlerini çözmek için genellikle bir değişkeni diğerine bağlı olarak ifade eder ve ardından bir fonksiyonun minimum değerini buluruz.
İki pozitif sayıyı $x$ ve $y$ olarak adlandıralım. Soruda verilen bilgilere göre, sayılar pozitiftir ($x > 0$ ve $y > 0$) ve toplamları 24'tür ($x + y = 24$). Amacımız, bu sayıların kareleri toplamının ($x^2 + y^2$) minimum değerini bulmaktır.
Toplam denklemini kullanarak $y$'yi $x$ cinsinden ifade edelim:
$y = 24 - x$
Şimdi $y$'nin bu ifadesini, minimize etmek istediğimiz $x^2 + y^2$ ifadesine yerine koyalım. Bu ifadeye $S$ diyelim (Sum - Toplam):
$S = x^2 + (24 - x)^2$
Bu ifadeyi açalım ve düzenleyelim:
$S = x^2 + (24^2 - 2 \cdot 24 \cdot x + x^2)$
$S = x^2 + (576 - 48x + x^2)$
$S = 2x^2 - 48x + 576$
Bu ifade, $x$ değişkenine bağlı bir parabol denklemi (ikinci dereceden bir fonksiyon) olup, $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($2 > 0$) olduğu için kolları yukarı doğru olan bir paraboldür. Bu tür bir parabolün minimum değeri, tepe noktasında gerçekleşir.
Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı $x = -\frac{b}{2a}$ formülü ile bulunur. Bizim fonksiyonumuz $S = 2x^2 - 48x + 576$ olduğundan, $a = 2$ ve $b = -48$ değerlerini yerine koyalım:
$x = -\frac{-48}{2 \cdot 2}$
$x = \frac{48}{4}$
$x = 12$
Şimdi $x=12$ değerini kullanarak $y$ değerini bulalım:
$y = 24 - x = 24 - 12 = 12$
Gördüğümüz gibi, kareleri toplamının minimum olması için sayılar birbirine eşit olmalıdır ($x=12, y=12$). Bu sayılar pozitiflik koşulunu da sağlamaktadır.
Bulduğumuz $x=12$ ve $y=12$ değerlerini kareleri toplamı ifadesine ($x^2 + y^2$) yerine koyalım:
$S_{min} = 12^2 + 12^2$
$S_{min} = 144 + 144$
$S_{min} = 288$
Cevap A seçeneğidir.
