Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, analitik geometrinin temel konularından biri olan paralel doğrular arasındaki uzaklık hesaplamayı adım adım öğreneceğiz. Bu tür sorular, doğruların denklemlerini anlama ve formülleri doğru uygulama becerimizi ölçer. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: Verilen Doğrunun Denklemini Anlama
- Bize verilen ilk doğru denklemi $y = 3x + 2$. Bu doğruya $L_1$ diyelim.
- Bu denklemin eğimi $m_1 = 3$'tür. Doğru denklemini genel formda yazarsak ($Ax + By + C = 0$): $3x - y + 2 = 0$ olur. Burada $A=3$, $B=-1$ ve $C_1=2$'dir.
- Adım 2: Orijinden Geçen ve Paralel Olan Doğrunun Denklemini Bulma
- Soruda bahsedilen ikinci doğru, $L_1$ doğrusuna paraleldir. Paralel doğruların eğimleri eşit olduğu için, ikinci doğrunun eğimi de $m_2 = 3$ olacaktır.
- Bu durumda ikinci doğrunun denklemi $y = 3x + k$ şeklinde olmalıdır.
- Ayrıca, bu doğru orijinden geçmektedir. Orijin noktası $(0,0)$'dır. Denkleme $(0,0)$ noktasını yerine yazarsak: $0 = 3(0) + k \Rightarrow k = 0$ buluruz.
- Yani, orijinden geçen ve $y = 3x + 2$ doğrusuna paralel olan doğru $L_2: y = 3x$ denklemine sahiptir.
- Bu denklemi de genel formda yazarsak: $3x - y + 0 = 0$ olur. Burada $A=3$, $B=-1$ ve $C_2=0$'dır.
- Adım 3: İki Paralel Doğru Arasındaki Uzaklığı Hesaplama
- Elimizde iki paralel doğru var:
- $L_1: 3x - y + 2 = 0$ ($A=3$, $B=-1$, $C_1=2$)
- $L_2: 3x - y + 0 = 0$ ($A=3$, $B=-1$, $C_2=0$)
- İki paralel doğru $Ax + By + C_1 = 0$ ve $Ax + By + C_2 = 0$ arasındaki uzaklık formülü şöyledir:
- $d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$
- Şimdi bulduğumuz değerleri bu formülde yerine yazalım:
- $d = \frac{|2 - 0|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}}$
- $d = \frac{|2|}{\sqrt{9 + 1}}$
- $d = \frac{2}{\sqrt{10}}$ birimdir.
Bu sonuç, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.
Cevap A seçeneğidir.
