Kümelerde birleşim, kesişim, fark Test 2

5. A ve B kümeleri için s(A) = 2x + 3, s(B) = x + 7 ve s(A∩B) = 4'tür. s(A∪B) = 15 olduğuna göre, x kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda kümelerle ilgili temel bir formülü kullanarak bilinmeyen $x$ değerini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• Kümelerde Birleşim Formülünü Hatırlayalım:

  İki kümenin birleşiminin eleman sayısını bulmak için kullandığımız temel bir formül vardır. Bu formül, $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$ şeklindedir. Bu formül bize, A kümesinin eleman sayısı ile B kümesinin eleman sayısını topladığımızda, kesişim kümesinin eleman sayısını bir kez çıkarmamız gerektiğini söyler. Çünkü kesişimdeki elemanlar hem A'da hem de B'de sayıldığı için iki kez sayılmış olurlar.

• Verilen Bilgileri Formülde Yerine Yazalım:

  Soruda bize şu bilgiler verilmişti:

  • $s(A) = 2x + 3$
  • $s(B) = x + 7$
  • $s(A \cap B) = 4$
  • $s(A \cup B) = 15$

  Şimdi bu değerleri formülümüzde yerine yazalım:

  $15 = (2x + 3) + (x + 7) - 4$

• Denklemi Düzenleyelim ve Çözelim:

  Denklemimizi daha basit bir hale getirelim:

  $15 = 2x + 3 + x + 7 - 4$

  Önce $x$'li terimleri kendi arasında, sabit sayıları kendi arasında toplayalım:

  $15 = (2x + x) + (3 + 7 - 4)$

  $15 = 3x + (10 - 4)$

  $15 = 3x + 6$

  Şimdi $x$'i yalnız bırakmak için sabit sayıyı denklemin diğer tarafına atalım. $+6$ karşıya $-6$ olarak geçer:

  $15 - 6 = 3x$

  $9 = 3x$

  Her iki tarafı $x$'in katsayısı olan $3$'e bölelim:

  $rac{9}{3} = x$

  $3 = x$

  Böylece $x$ değerini $3$ olarak bulmuş oluruz.

• Cevabı Kontrol Edelim (İsteğe Bağlı):

  Bulduğumuz $x = 3$ değerini yerine koyarak sağlamasını yapabiliriz:

  • $s(A) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$
  • $s(B) = 3 + 7 = 10$
  • $s(A \cap B) = 4$

  Formülü tekrar kullanalım: $s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)$

  $s(A \cup B) = 9 + 10 - 4$

  $s(A \cup B) = 19 - 4$

  $s(A \cup B) = 15$

  Soruda verilen $s(A \cup B) = 15$ değeriyle eşleştiği için çözümümüz doğrudur.

Cevap B seçeneğidir.