Bir noktada limit olma şartı Test 2

$f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 2 \\ 4 & x > 2 \end{cases}$ fonksiyonu için $x = 2$ noktasındaki limit değeri nedir?

A) 0
B) 2
C) 4
D) Limit yoktur

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki limitinin var olabilmesi için, o noktadaki sol limitinin ve sağ limitinin birbirine eşit olması gerekir. Yani, $x=a$ noktasında limitin var olması için $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = L$ koşulunun sağlanması gerekmektedir. Bu durumda limit değeri $L$ olur.

Şimdi, verilen $f(x)$ fonksiyonu için $x=2$ noktasındaki limiti adım adım inceleyelim:

• Adım 1: Sol Limiti Hesaplayalım

$x=2$ noktasına soldan yaklaşırken, yani $x < 2$ iken, fonksiyonumuzun kuralı $f(x) = x^2$ olarak tanımlanmıştır. Bu durumda sol limiti hesaplamak için bu kuralı kullanırız:

$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2$

Polinom fonksiyonlarda limit hesaplarken, $x$ yerine doğrudan limit alınan değeri yazabiliriz:

$\lim_{x \to 2^-} x^2 = (2)^2 = 4$

Yani, fonksiyonun $x=2$ noktasındaki sol limiti $4$'tür.

• Adım 2: Sağ Limiti Hesaplayalım

$x=2$ noktasına sağdan yaklaşırken, yani $x > 2$ iken, fonksiyonumuzun kuralı $f(x) = 4$ olarak tanımlanmıştır. Bu durumda sağ limiti hesaplamak için bu kuralı kullanırız:

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} 4$

Sabit bir fonksiyonun limiti, o sabit sayının kendisine eşittir:

$\lim_{x \to 2^+} 4 = 4$

Yani, fonksiyonun $x=2$ noktasındaki sağ limiti $4$'tür.

• Adım 3: Sol ve Sağ Limitleri Karşılaştıralım

Hesaplamalarımıza göre:

• Sol limit: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 4$
• Sağ limit: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 4$

Görüldüğü gibi, sol limit ve sağ limit birbirine eşittir ($4 = 4$).

• Adım 4: Sonucu Belirleyelim

Sol ve sağ limitler eşit olduğu için, fonksiyonun $x=2$ noktasındaki limiti vardır ve bu değer $4$'tür.

$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$

Cevap C seçeneğidir.