🎓 KPSS Matematik deneme sınavı Test 2 - Ders Notu
Bu ders notu, KPSS Matematik deneme sınavı Test 2'de karşılaşabileceğiniz temel konuları kapsar. Amacımız, karmaşık konuları sadeleştirerek hızlıca gözden geçirmenizi ve sınava daha hazır hissetmenizi sağlamaktır.
📌 Rasyonel Sayılar ve İşlemler
Rasyonel sayılar, $a/b$ şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada $a$ bir tam sayı, $b$ ise sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Kesirli ifadelerin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerini doğru yapmak çok önemlidir.
- Toplama ve Çıkarma: Paydalar eşitse paylar toplanır/çıkarılır. Eşit değilse, ortak paydada eşitlenir. Örnek: $ rac{1}{2} + rac{1}{3} = rac{3}{6} + rac{2}{6} = rac{5}{6}$
- Çarpma: Paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. Örnek: $ rac{2}{3} \times rac{4}{5} = rac{8}{15}$
- Bölme: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır. Örnek: $ rac{1}{2} \div rac{3}{4} = rac{1}{2} \times rac{4}{3} = rac{4}{6} = rac{2}{3}$
- Sadeleştirme: İşlem sonucunu en sade halinde bırakmak için pay ve paydayı ortak bölen en büyük sayıya bölün.
💡 İpucu: İşlem önceliğine dikkat edin: Parantez içi, Üslü sayılar, Çarpma/Bölme, Toplama/Çıkarma.
📌 Üslü İfadeler
Bir sayının kendisiyle kaç defa çarpıldığını gösteren ifadelere üslü sayılar denir. $a^n$ ifadesinde $a$ taban, $n$ ise üsttür.
- Pozitif Üs: $a^n = a \times a \times ... \times a$ ($n$ tane $a$'nın çarpımı). Örnek: $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$
- Negatif Üs: $a^{-n} = rac{1}{a^n}$. Örnek: $3^{-2} = rac{1}{3^2} = rac{1}{9}$
- Sıfır Üs: Sıfır hariç her sayının sıfırıncı kuvveti $1$'dir. $a^0 = 1$ ($a \neq 0$). Örnek: $5^0 = 1$
- Üslü Sayılarda Çarpma: Tabanlar aynıysa üsler toplanır ($a^m \times a^n = a^{m+n}$). Üsler aynıysa tabanlar çarpılır ($(a \times b)^n = a^n \times b^n$).
- Üslü Sayılarda Bölme: Tabanlar aynıysa üsler çıkarılır ($ rac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$). Üsler aynıysa tabanlar bölünür ($ rac{a^n}{b^n} = ( rac{a}{b})^n$).
- Üssün Üssü: $(a^m)^n = a^{m \times n}$. Örnek: $(2^3)^2 = 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64$
⚠️ Dikkat: Negatif sayıların çift kuvvetleri pozitif, tek kuvvetleri negatiftir. Örnek: $(-2)^2 = 4$, $(-2)^3 = -8$.
📌 Köklü İfadeler
Bir sayının hangi sayının kuvveti olduğunu bulma işlemine kök alma denir. En çok karekök ($ sqrt{a}$) ve küpkök ($ sqrt[3]{a}$) kullanılır.
- Tanım: $ sqrt[n]{a} = b$ ise $b^n = a$'dır.
- Kök Dışına Çıkarma: Kök içindeki sayı tam kare çarpanlara ayrılır. Örnek: $ sqrt{12} = sqrt{4 \times 3} = sqrt{4} \times sqrt{3} = 2 sqrt{3}$
- Köklü Sayılarda Toplama/Çıkarma: Kök içleri ve kök dereceleri aynıysa katsayılar toplanır/çıkarılır. Örnek: $3 sqrt{2} + 5 sqrt{2} = 8 sqrt{2}$
- Köklü Sayılarda Çarpma/Bölme: Kök dereceleri aynıysa kök içleri çarpılır/bölünür. Örnek: $ sqrt{2} \times sqrt{3} = sqrt{6}$
- Paydayı Rasyonel Yapma: Paydada köklü ifade varsa, paydayı kendisiyle veya eşleniğiyle çarparak rasyonel hale getirilir. Örnek: $ rac{1}{ sqrt{2}} = rac{1 \times sqrt{2}}{ sqrt{2} \times sqrt{2}} = rac{ sqrt{2}}{2}$
📝 Unutmayın: $ sqrt{a^2} = |a|$ yani mutlak değer olarak çıkar. $ sqrt{(-3)^2} = sqrt{9} = 3$.
📌 Çarpanlara Ayırma ve Özdeşlikler
Bir cebirsel ifadeyi, iki veya daha fazla ifadenin çarpımı şeklinde yazmaya çarpanlara ayırma denir. Özdeşlikler ise her zaman doğru olan eşitliklerdir.
- Ortak Çarpan Parantezine Alma: İfadedeki tüm terimlerde ortak olan çarpanı parantez dışına alma. Örnek: $3x + 6y = 3(x+2y)$
- İki Kare Farkı Özdeşliği: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Bu özdeşlik sıkça kullanılır. Örnek: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$
- Tam Kare Özdeşlikleri:
- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
Örnek: $(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4$
- Üç Terimli İfadelerin Çarpanlara Ayrılması: $x^2+bx+c$ şeklindeki ifadeler, çarpımları $c$'yi, toplamları $b$'yi veren iki sayı bulunarak $(x+m)(x+n)$ şeklinde ayrılır. Örnek: $x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$
💡 İpucu: Özdeşlikleri ezberlemek yerine mantığını kavramaya çalışın. Özellikle iki kare farkı, sadeleştirme sorularında anahtar rol oynar.
📌 Oran-Orantı ve Problemler (Sayı/Kesir)
Oran, iki çokluğun birbirine bölünerek kıyaslanmasıdır ($a/b$). Orantı ise iki veya daha fazla oranın eşitliğidir ($a/b = c/d$). Problemler ise bu kavramları kullanarak günlük hayattaki durumları matematiksel denklemlere dönüştürmeyi gerektirir.
- Doğru Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri de aynı oranda artıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa doğru orantılıdır. $y = kx$ (k: orantı sabiti).
- Ters Orantı: İki çokluktan biri artarken diğeri aynı oranda azalıyorsa veya tam tersi oluyorsa ters orantılıdır. $y = k/x$ veya $xy = k$.
- Orantı Özellikleri: $a/b = c/d$ ise $a \times d = b \times c$ (içler dışlar çarpımı).
- Sayı Problemleri: Bilinmeyenlere harf vererek (genellikle $x$) denklemler kurma. "Bir sayının 3 fazlası" $\rightarrow x+3$. "Bir sayının 2 katı" $\rightarrow 2x$.
- Kesir Problemleri: Bir bütünün kesirli kısımları ile ilgili problemler. Genellikle bütüne $x$ denir veya paydaların EKOK'u alınarak daha kolay bir sayı verilir. Örnek: "Bir yolun $ rac{1}{3}$'ü gidildi." Kalan yol $ rac{2}{3}$'üdür.
✅ Çözüm Stratejisi: Problemi dikkatlice okuyun, verilenleri ve istenenleri belirleyin. Bilinmeyenlere uygun harfler atayın ve matematiksel denklemler kurarak çözüme ulaşın. Özellikle kesir problemlerinde bütünü paydaların EKOK'u şeklinde bir sayı (örneğin $3x$, $5x$) seçmek işlemleri kolaylaştırabilir.
