KPSS Matematik deneme sınavı Test 2

Bir torbada 4 kırmızı, 5 mavi ve 6 beyaz bilye vardır. Torbadan rastgele çekilen iki bilyenin farklı renkte olma olasılığı kaçtır?

A) 37/75
B) 38/75
C) 74/105
D) 31/75
E) 32/75

Bu olasılık sorusunu adım adım çözelim. Farklı renkte iki bilye çekme olasılığını bulmak için tüm olası durumları ve istenen durumları inceleyeceğiz.

• Adım 1: Toplam bilye sayısını bulalım.
• Torbadaki toplam bilye sayısı: $4 \text{ (kırmızı)} + 5 \text{ (mavi)} + 6 \text{ (beyaz)} = 15$
• Adım 2: Tüm olası durumları hesaplayalım.
• İki bilye çekme durum sayısı, 15 bilyeden 2'sini seçmekle aynıdır. Kombinasyon formülünü kullanalım: $C(n, r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$
• Toplam durum sayısı: $C(15, 2) = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$
• Adım 3: İstenmeyen durumları (aynı renkte bilye çekme) hesaplayalım.
• İki kırmızı bilye çekme olasılığı: $C(4, 2) = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$
• İki mavi bilye çekme olasılığı: $C(5, 2) = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$
• İki beyaz bilye çekme olasılığı: $C(6, 2) = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
• Aynı renkte iki bilye çekme olasılığı (toplam istenmeyen durum): $6 + 10 + 15 = 31$
• Adım 4: Farklı renkte bilye çekme olasılığını hesaplayalım.
• Farklı renkte bilye çekme olasılığı = 1 - (Aynı renkte bilye çekme olasılığı)
• Farklı renkte bilye çekme olasılığı = $\frac{\text{Tüm durumlar} - \text{Aynı renkteki durumlar}}{\text{Tüm durumlar}} = \frac{105 - 31}{105} = \frac{74}{105}$

Cevap C seçeneğidir.