Bir çemberin yarıçapı %20 artırılırsa alanı yüzde kaç artar?
A) 20Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür yüzde problemleri, günlük hayatta da karşımıza çıkabilecek önemli konulardan biridir. Bir büyüklükteki değişimin, başka bir büyüklüğü nasıl etkilediğini anlamak için adım adım ilerleyelim.
Bir çemberin alanı, yarıçapının karesi ile $\pi$ (pi) sayısının çarpımına eşittir. Yani, alan $A$ ve yarıçap $r$ ise formülümüz:
$A = \pi r^2$
Bu formül, problemimizi çözmek için temel başlangıç noktamız olacak.
Başlangıçtaki yarıçapı $r_1$ olarak kabul edelim. Bu durumda, başlangıçtaki alan $A_1$ şöyle olacaktır:
$A_1 = \pi r_1^2$
Şimdilik $r_1$ için belirli bir sayı değeri vermemize gerek yok, çünkü yüzde değişimi hesaplarken oranlar üzerinden gideceğiz.
Soruda yarıçapın %20 artırıldığı belirtiliyor. Bu, yeni yarıçapın, eski yarıçapın %100'ü artı %20'si olacağı anlamına gelir. Yani, eski yarıçapın %120'si.
Yeni yarıçap $r_2$ olsun:
$r_2 = r_1 + (r_1 \times 0.20)$
$r_2 = r_1 (1 + 0.20)$
$r_2 = 1.20 r_1$
Gördüğünüz gibi, yeni yarıçap eski yarıçapın 1.2 katı oldu.
Şimdi yeni yarıçap $r_2$ kullanarak yeni alanı $A_2$ hesaplayalım:
$A_2 = \pi r_2^2$
$r_2$ yerine $1.20 r_1$ yazalım:
$A_2 = \pi (1.20 r_1)^2$
$A_2 = \pi (1.20)^2 r_1^2$
$A_2 = \pi (1.44) r_1^2$
Bu ifadeyi biraz daha düzenlersek:
$A_2 = 1.44 (\pi r_1^2)$
Başlangıçtaki alanın $A_1 = \pi r_1^2$ olduğunu hatırlarsak, yeni alanı $A_1$ cinsinden yazabiliriz:
$A_2 = 1.44 A_1$
Bu, yeni alanın eski alanın 1.44 katı olduğu anlamına gelir.
Alanın yüzde kaç arttığını bulmak için şu formülü kullanırız:
Yüzde Artış $= \frac{\text{Yeni Alan} - \text{Eski Alan}}{\text{Eski Alan}} \times 100\%$
Yüzde Artış $= \frac{A_2 - A_1}{A_1} \times 100\%$
$A_2$ yerine $1.44 A_1$ yazalım:
Yüzde Artış $= \frac{1.44 A_1 - A_1}{A_1} \times 100\%$
Yüzde Artış $= \frac{(1.44 - 1) A_1}{A_1} \times 100\%$
Yüzde Artış $= \frac{0.44 A_1}{A_1} \times 100\%$
Yüzde Artış $= 0.44 \times 100\%$
Yüzde Artış $= 44\%$
Yani, çemberin yarıçapı %20 artırıldığında alanı %44 artar.
Cevap D seçeneğidir.
