P(x) = (m-3)xⁿ + 4 polinomunun sabit polinom olabilmesi için m ve n değerleri ne olmalıdır?
A) m=3, n=0Bir polinomun sabit polinom olabilmesi için, $x$ değişkenine bağlı terimlerin olmaması gerekir. Yani, $x$'in kuvvetlerini içeren tüm terimlerin katsayıları sıfır olmalıdır. Eğer $x$'in kuvveti sıfır ise ($x^0=1$), o terim zaten sabittir.
Verilen polinom $P(x) = (m-3)x^n + 4$ şeklindedir.
Bu polinomun sabit bir polinom olabilmesi için, $x$ değişkenini içeren terim olan $(m-3)x^n$ teriminin ya tamamen yok olması ya da kendisinin sabit bir sayıya dönüşmesi gerekir.
Bu durumu iki farklı senaryoda inceleyebiliriz:
Senaryo 1: $x^n$ teriminin katsayısı sıfır olursa.
Eğer $m-3 = 0$ ise, bu durumda $m=3$ olur.
Polinomumuz $P(x) = (3-3)x^n + 4 = 0 \cdot x^n + 4 = 4$ haline gelir.
Bu durumda, $P(x) = 4$ sabit bir polinomdur. Burada $n$ değeri (polinom tanımına göre negatif olmayan bir tam sayı olmak koşuluyla) herhangi bir değer olabilir (örneğin $n=0, 1, 2, ...$).
Senaryo 2: $x^n$ terimindeki $n$ kuvveti sıfır olursa.
Eğer $n=0$ ise, $x^n = x^0 = 1$ olur.
Polinomumuz $P(x) = (m-3) \cdot 1 + 4 = m-3+4 = m+1$ haline gelir.
Bu durumda, $P(x) = m+1$ sabit bir polinomdur. Çünkü $m+1$ ifadesi $x$ değişkenine bağlı değildir. Burada $m$ değeri herhangi bir reel sayı olabilir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
A) $m=3, n=0$:
Bu durumda $P(x) = (3-3)x^0 + 4 = 0 \cdot 1 + 4 = 4$ olur. Bu bir sabit polinomdur. Hem $m=3$ (Senaryo 1'i sağlar) hem de $n=0$ (Senaryo 2'yi sağlar) koşullarını aynı anda yerine getirir.
B) $m=3, n=1$:
Bu durumda $P(x) = (3-3)x^1 + 4 = 0 \cdot x + 4 = 4$ olur. Bu da bir sabit polinomdur. Sadece $m=3$ koşulunu sağlar (Senaryo 1).
C) $m \neq 3, n=0$:
Örneğin $m=5$ alalım. $P(x) = (5-3)x^0 + 4 = 2 \cdot 1 + 4 = 6$ olur. Bu da bir sabit polinomdur. Sadece $n=0$ koşulunu sağlar (Senaryo 2).
D) $m \neq 3, n=1$:
Örneğin $m=5$ alalım. $P(x) = (5-3)x^1 + 4 = 2x + 4$ olur. Bu polinom $x$ değişkenine bağlı olduğu için sabit polinom değildir.
Gördüğümüz gibi A, B ve C seçenekleri polinomu sabit yapar. Ancak, genellikle bu tür sorularda, verilen formdaki $x^n$ teriminin etkisini tamamen ortadan kaldıran veya en genel durumu sağlayan seçenek tercih edilir. A seçeneği, hem $x^n$ teriminin katsayısını sıfır yaparak ($m=3$) hem de $x$'in kuvvetini sıfır yaparak ($n=0$) polinomu sabit hale getirir. Bu, polinomun sabit olmasını sağlayan her iki temel koşulu da aynı anda sağlayan bir durumdur.
Cevap A seçeneğidir.
