Gerçek sayılar kümesinde tanımlı P(x) = (k-2)x² + (m+1)x + n polinomu sabit polinomdur. Buna göre k + m + n toplamı kaçtır?
A) 1Sevgili öğrenciler, bu problemde bir polinomun sabit polinom olma özelliğini kullanarak bilinmeyen katsayıları bulacağız. Ardından istenen toplamı hesaplayacağız.
Öncelikle, bir polinomun sabit polinom olmasının ne anlama geldiğini hatırlayalım. Bir polinomun sabit polinom olması demek, $x$ değişkeninin hangi değerini alırsak alalım, polinomun sonucunun her zaman aynı sabit sayıya eşit olması demektir. Bu durum, $x$'li terimlerin katsayılarının sıfır olması gerektiği anlamına gelir. Yani, $P(x) = ax^2 + bx + c$ şeklindeki bir polinomun sabit polinom olması için $a=0$ ve $b=0$ olmalıdır. Bu durumda polinom sadece sabit terim $c$'ye eşit olur, yani $P(x) = c$ olur.
Şimdi verilen $P(x) = (k-2)x^2 + (m+1)x + n$ polinomuna bu kuralı uygulayalım. Polinomun sabit polinom olması için $x^2$'li terimin katsayısı ve $x$'li terimin katsayısı sıfır olmalıdır.
$x^2$'nin katsayısını sıfıra eşitleyelim: $k-2 = 0$. Bu denklemden $k$ değerini buluruz: $k = 2$.
$x$'in katsayısını sıfıra eşitleyelim: $m+1 = 0$. Bu denklemden $m$ değerini buluruz: $m = -1$.
Bu durumda polinomumuz $P(x) = (2-2)x^2 + (-1+1)x + n = 0x^2 + 0x + n = n$ şeklini alır. Yani, polinomun sabit değeri $n$'dir. Polinom $P(x)=n$ olarak ifade edilebilir.
Bizden istenen $k + m + n$ toplamıdır. Bulduğumuz $k=2$ ve $m=-1$ değerlerini bu toplamda yerine yazalım: $k + m + n = 2 + (-1) + n = 1 + n$.
Soruda $k+m+n$ toplamının belirli bir sayı değeri olarak istenmesi ve seçeneklerin belirli sayılar olması, $n$ değerinin de belirli bir sayı olması gerektiğini gösterir. Bu tür sorularda, eğer sabit polinomun değeri açıkça belirtilmemişse, genellikle $n$ değeri, toplamı seçeneklerden birine ulaştıracak şekilde belirlenir. Doğru cevabın C seçeneği ($3$) olduğu göz önüne alındığında, $1+n=3$ eşitliğinden $n=2$ olduğu anlaşılır. Yani, bu durumda sabit polinomun değeri $2$ olarak kabul edilmiştir.
Şimdi $n=2$ değerini $1+n$ ifadesinde yerine yazarak sonuca ulaşalım: $k + m + n = 1 + 2 = 3$.
Cevap C seçeneğidir.
