Beş kişinin yaşları 22, 25, 30, 33 ve 35'tir. Bu gruba 40 yaşında bir kişi daha katılırsa, aşağıdaki merkezi eğilim ölçülerinden hangisi en fazla değişir?
A) Aritmetik ortalama
B) Medyan
C) Mod
D) Ranj
Bu soruda, bir veri grubuna yeni bir eleman eklendiğinde merkezi eğilim ölçülerinden hangisinin en fazla değiştiğini bulmamız isteniyor. Merkezi eğilim ölçüleri, bir veri setinin ortasını veya tipik değerini gösteren istatistiklerdir. Bunlar aritmetik ortalama, medyan ve moddur. Ranj ise bir merkezi eğilim ölçüsü değil, bir yayılım (dağılım) ölçüsüdür.
Şimdi adım adım hesaplamalarımızı yapalım:
- 1. İlk Durumdaki Değerleri Hesaplayalım (5 kişi): Yaşlar: 22, 25, 30, 33, 35
- Aritmetik Ortalama (İlk Durum): Tüm yaşların toplamının kişi sayısına bölümüdür. Toplam = $22 + 25 + 30 + 33 + 35 = 145$. Kişi Sayısı = $5$. Aritmetik Ortalama = $145 / 5 = 29$.
- Medyan (İlk Durum): Veriler küçükten büyüğe sıralandığında ortada kalan değerdir. Tek sayıda veri varsa ortadaki değer, çift sayıda veri varsa ortadaki iki değerin ortalamasıdır. Sıralı Veri: 22, 25, 30, 33, 35. Medyan = $30$.
- Mod (İlk Durum): Veri grubunda en sık tekrar eden değerdir. Bu veri grubunda her yaş birer kez geçtiği için belirgin bir mod yoktur.
- Ranj (İlk Durum): Veri grubundaki en büyük değer ile en küçük değer arasındaki farktır. Ranj = En Büyük Yaş - En Küçük Yaş = $35 - 22 = 13$.
- 2. Yeni Durumdaki Değerleri Hesaplayalım (40 yaşında kişi katıldıktan sonra - 6 kişi): Yeni Yaşlar: 22, 25, 30, 33, 35, 40
- Aritmetik Ortalama (Yeni Durum): Yeni Toplam = $22 + 25 + 30 + 33 + 35 + 40 = 185$. Yeni Kişi Sayısı = $6$. Yeni Aritmetik Ortalama = $185 / 6 \approx 30.83$.
- Medyan (Yeni Durum): Sıralı Veri: 22, 25, 30, 33, 35, 40. Çift sayıda veri olduğu için ortadaki iki değerin (30 ve 33) ortalamasını alırız. Yeni Medyan = $(30 + 33) / 2 = 63 / 2 = 31.5$.
- Mod (Yeni Durum): Bu yeni veri grubunda da her yaş birer kez geçtiği için belirgin bir mod yoktur.
- Ranj (Yeni Durum): Yeni Ranj = En Büyük Yaş - En Küçük Yaş = $40 - 22 = 18$.
- 3. Değişim Miktarlarını Karşılaştıralım:
- Aritmetik Ortalama Değişimi: $|30.83 - 29| = 1.83$
- Medyan Değişimi: $|31.5 - 30| = 1.5$
- Mod Değişimi: Mod yoktu, yine yok. Değişim $0$.
- Ranj Değişimi: $|18 - 13| = 5$
- 4. Merkezi Eğilim Ölçüleri Arasındaki En Büyük Değişimi Belirleyelim: Soruda bizden "merkezi eğilim ölçülerinden hangisi" diye sorulduğu için, Ranj'ı (yayılım ölçüsü) bu karşılaştırmanın dışında tutmalıyız. Merkezi eğilim ölçüleri olan Aritmetik Ortalama, Medyan ve Mod'un değişimlerini karşılaştırdığımızda: Aritmetik Ortalama: $1.83$, Medyan: $1.5$, Mod: $0$. Bu değerler arasında en büyük değişim Aritmetik Ortalama'da ($1.83$) gözlenmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
