ABC üçgeninde [DE] // [BC] olacak şekilde D ∈ [AB], E ∈ [AC] noktaları alınıyor. |AD| = 8 cm, |DB| = 4 cm ve |DE| = 6 cm olduğuna göre, |BC| kaç cm'dir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
Sevgili öğrenciler, bu tür bir geometri sorusunu çözerken, üçgenlerde benzerlik kavramını kullanmamız gerektiğini bilmeliyiz. Adım adım ilerleyelim:
-
1. Verilen Bilgileri Anlayalım:
- Bir $ABC$ üçgenimiz var.
- $[DE]$ doğru parçası, $[BC]$ doğru parçasına paraleldir ($[DE] // [BC]$). Bu bilgi çok önemlidir, çünkü paralellik benzerliği tetikler.
- $D$ noktası $[AB]$ kenarı üzerinde, $E$ noktası ise $[AC]$ kenarı üzerindedir.
- $|AD| = 8$ cm olarak verilmiş.
- $|DB| = 4$ cm olarak verilmiş.
- $|DE| = 6$ cm olarak verilmiş.
- Bizden istenen, $|BC|$ uzunluğunu bulmaktır.
-
2. Benzer Üçgenleri Belirleyelim:
$[DE] // [BC]$ olduğu için, Temel Orantı Teoremi (Thales Teoremi) gereği $\triangle ADE$ üçgeni ile $\triangle ABC$ üçgeni benzerdir. Yani $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ olur.
Bu benzerlikten dolayı, karşılıklı kenarların oranları birbirine eşit olacaktır.
-
3. Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:
Benzerlik oranını kurabilmek için büyük üçgenin (ABC) ilgili kenar uzunluklarına ihtiyacımız var.
- $|AB|$ kenarının uzunluğu, $|AD|$ ve $|DB|$ uzunluklarının toplamıdır:
- $|AB| = |AD| + |DB|$
- $|AB| = 8 \text{ cm} + 4 \text{ cm}$
- $|AB| = 12 \text{ cm}$
-
4. Benzerlik Oranını Kuralım:
Benzer üçgenlerde, karşılıklı kenarların oranları eşittir. Bu durumda:
$\frac{|AD|}{|AB|} = \frac{|DE|}{|BC|}$
Şimdi bilinen değerleri yerine yazalım:
$\frac{8}{12} = \frac{6}{|BC|}$
-
5. Denklemi Çözerek $|BC|$ Uzunluğunu Bulalım:
Denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz veya oranı sadeleştirebiliriz.
- Önce oranı sadeleştirelim: $\frac{8}{12}$ kesrini 4 ile sadeleştirirsek $\frac{2}{3}$ elde ederiz.
- Yani denklemimiz şu hale gelir: $\frac{2}{3} = \frac{6}{|BC|}$
- Şimdi içler dışlar çarpımı yapalım:
- $2 \times |BC| = 3 \times 6$
- $2 \times |BC| = 18$
- Her iki tarafı 2'ye bölelim:
- $|BC| = \frac{18}{2}$
- $|BC| = 9$ cm
Buna göre, $|BC|$ uzunluğu 9 cm'dir.
Cevap C seçeneğidir.
