P(x) = (a-2)x³ + (b+1)x² + (c-4)x + d polinomu sabit polinom olduğuna göre, a + b + c + d toplamı kaçtır?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
Merhaba arkadaşlar, bu soruyu adım adım ve anlaşılır bir şekilde çözelim:
Sabit Polinom Tanımı: Bir polinomun sabit polinom olması demek, değişken (x) içermemesi demektir. Yani, polinom sadece bir sayıya eşit olmalıdır. Örneğin, $P(x) = 5$ gibi.
Polinomdaki Terimleri İnceleme: $P(x) = (a-2)x^3 + (b+1)x^2 + (c-4)x + d$ polinomunda, x'li terimlerin (yani $x^3$, $x^2$ ve $x$) olmaması gerekir. Bu, bu terimlerin katsayılarının sıfır olması anlamına gelir.
Katsayıları Sıfıra Eşitleme:
$x^3$'ün katsayısı: $a - 2 = 0$ Buradan $a = 2$ bulunur.
$x^2$'nin katsayısı: $b + 1 = 0$ Buradan $b = -1$ bulunur.
$x$'in katsayısı: $c - 4 = 0$ Buradan $c = 4$ bulunur.
Sabit Terimi Belirleme: Polinom sabit polinom olduğuna göre, $P(x) = d$ şeklinde olmalıdır. Yani polinomun değeri 'd'ye eşittir.
a + b + c + d Toplamını Bulma: Şimdi bulduğumuz değerleri toplayalım: $a + b + c + d = 2 + (-1) + 4 + d = 5 + d$. Sabit polinomun değeri $d$ olduğuna göre, polinomun değeri aynı zamanda $a, b, c$ değerleri yerine konulduğunda elde edilen sonuca eşit olmalıdır. Yani $P(x) = (2-2)x^3 + (-1+1)x^2 + (4-4)x + d = d$. Bu durumda $d$ herhangi bir sayı olabilir. Ancak seçeneklerdeki sayılar dikkate alındığında $a+b+c+d$ toplamının tam sayı olması gerektiği anlaşılıyor. Eğer $P(x)$ sabit polinom ise $P(0) = d$ olmalıdır. $P(0) = (a-2)0^3 + (b+1)0^2 + (c-4)0 + d = d$ olur. Bu durumda $a+b+c+d = 2 + (-1) + 4 + d = 5 + d$ olur. Seçeneklerdeki sayılar dikkate alındığında $5+d$'nin seçeneklerden birine eşit olması gerekir. Eğer $5+d = 5$ ise $d=0$, $5+d = 6$ ise $d=1$, $5+d = 7$ ise $d=2$, $5+d = 8$ ise $d=3$ olur. Polinomun sabit polinom olması için $d$'nin bir sayı olması yeterlidir. Ancak soruda $a+b+c+d$ toplamı sorulduğu için ve $a, b, c$ değerleri bulunduğundan $d$ değerinin de bulunması gerekir. Eğer $a+b+c+d = 7$ ise $d=2$ olur. Bu durumda $P(x) = 2$ sabit polinomu elde edilir.
