Bir polinomun sabit polinom olması, o polinomun değerinin $x$ değişkenine bağlı olmaması, yani $x$ içeren terimlerin bulunmaması veya katsayılarının sıfır olması anlamına gelir. Başka bir deyişle, $P(x) = c$ şeklinde bir sabit sayıya eşit olmalıdır.
Verilen polinom $P(x) = (m-3)x^n + 5$'tir.
Bu polinomun sabit polinom olması için $x$ içeren terimin ortadan kalkması gerekmektedir. Bu durum iki şekilde sağlanabilir:
- 1. Durum: $x^n$ teriminin katsayısı sıfır olmalıdır.
- Eğer $n > 0$ ise, $x^n$ bir değişken terimdir. Bu terimin polinomda olmaması için katsayısı sıfır olmalıdır.
- Yani, $(m-3) = 0$ olmalıdır.
- Buradan $m = 3$ bulunur.
- Eğer $m=3$ olursa, $P(x) = (3-3)x^n + 5 = 0 \cdot x^n + 5 = 5$ olur.
- Bu durumda $P(x)=5$ sabit bir polinomdur. Bu durum, $n$'nin herhangi bir negatif olmayan tam sayı değeri için geçerlidir (örneğin $n=0, 1, 2, \dots$).
- 2. Durum: $x^n$ teriminin kendisi sabit bir sayı olmalıdır.
- Bu durum, $n=0$ olduğunda gerçekleşir. Çünkü $x^0 = 1$ (sıfır üzeri sıfır belirsizliği genellikle polinomlarda $1$ olarak kabul edilir).
- Eğer $n=0$ olursa, $P(x) = (m-3)x^0 + 5 = (m-3) \cdot 1 + 5 = m-3+5 = m+2$ olur.
- Bu durumda $P(x)=m+2$ sabit bir polinomdur. Bu durum, $m$'nin herhangi bir reel sayı değeri için geçerlidir.
Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) $m=3, n=0$
- Bu değerleri yerine koyarsak: $P(x) = (3-3)x^0 + 5 = 0 \cdot 1 + 5 = 5$.
- $P(x)=5$ sabit bir polinomdur. Bu seçenek hem 1. durumu ($m=3$) hem de 2. durumu ($n=0$) aynı anda sağlar. Bir sabit polinomun derecesi $0$ olduğu için, $n=0$ olması bu dereceyle uyumludur.
- B) $m=3, n=1$
- Bu değerleri yerine koyarsak: $P(x) = (3-3)x^1 + 5 = 0 \cdot x + 5 = 5$.
- $P(x)=5$ sabit bir polinomdur. Bu seçenek 1. durumu ($m=3$) sağlar ancak 2. durumu sağlamaz ($n \neq 0$).
- C) $m \neq 3, n=0$
- Örneğin $m=4, n=0$ alalım: $P(x) = (4-3)x^0 + 5 = 1 \cdot 1 + 5 = 6$.
- $P(x)=6$ sabit bir polinomdur. Bu seçenek 2. durumu ($n=0$) sağlar ancak 1. durumu sağlamaz ($m \neq 3$).
- D) $m \neq 3, n=1$
- Örneğin $m=4, n=1$ alalım: $P(x) = (4-3)x^1 + 5 = 1 \cdot x + 5 = x+5$.
- Bu bir sabit polinom değildir, $x$ değişkenine bağlıdır. Bu seçenek yanlıştır.
Görüldüğü gibi A, B ve C seçenekleri polinomu sabit polinom yapmaktadır. Ancak, bir polinomun sabit polinom olması durumunda, genellikle $x$'in en yüksek kuvvetinin katsayısının sıfır olması ve $x$'in kuvvetinin de $0$ olması beklenir (çünkü sabit bir sayının derecesi $0$'dır).
Seçenek A ($m=3, n=0$) hem $x^n$ teriminin katsayısını sıfır yaparak ($m-3=0 \implies m=3$) hem de $x^n$ teriminin kendisini sabit bir sayı ($x^0=1$) yaparak polinomu sabit hale getirir. Bu, polinomun $P(x)=0 \cdot 1 + 5 = 5$ olmasını sağlar ve sabit bir polinomun derecesi olan $0$ ile de uyumludur. Bu nedenle, en kesin ve genel kabul gören çözüm A seçeneğidir.
Cevap A seçeneğidir.
