Aritmetik dizi ilk n terim toplamı formülü (Sn) Test 1

Bir aritmetik dizide ilk 8 terimin toplamı 100, ilk 15 terimin toplamı 345'tir. Buna göre bu dizinin ilk terimi kaçtır?

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruyu adım adım çözerek aritmetik diziler konusundaki bilgimizi pekiştirelim.

• Adım 1: Aritmetik Dizi Toplam Formülünü Hatırlayalım
• Aritmetik bir dizide ilk $n$ terimin toplamı $S_n$ şu formülle bulunur: $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$
• Burada $a_1$ ilk terim, $d$ ortak fark ve $n$ terim sayısıdır. Bu formül, problemin çözümünde anahtar rol oynayacak.
• Adım 2: Verilen Bilgileri Formülde Yerine Koyalım ve Denklemleri Oluşturalım
• Soruda bize iki bilgi verilmiş: ilk 8 terimin toplamı 100 ve ilk 15 terimin toplamı 345. Bu bilgileri yukarıdaki formülde kullanarak iki ayrı denklem oluşturalım.
• İlk 8 terimin toplamı 100 ($S_8 = 100$):
• $100 = \frac{8}{2}(2a_1 + (8-1)d)$
• $100 = 4(2a_1 + 7d)$
• Her iki tarafı 4'e bölelim: $25 = 2a_1 + 7d$ (Bu bizim birinci denklemimiz)
• İlk 15 terimin toplamı 345 ($S_{15} = 345$):
• $345 = \frac{15}{2}(2a_1 + (15-1)d)$
• $345 = \frac{15}{2}(2a_1 + 14d)$
• Parantez içindeki ifadeyi 2 ile sadeleştirebiliriz: $2a_1 + 14d = 2(a_1 + 7d)$. Şimdi bunu formülde yerine koyalım:
• $345 = \frac{15}{2} \cdot 2(a_1 + 7d)$
• $345 = 15(a_1 + 7d)$
• Her iki tarafı 15'e bölelim: $23 = a_1 + 7d$ (Bu bizim ikinci denklemimiz)
• Adım 3: Oluşturduğumuz Denklem Sistemini Çözelim
• Şimdi elimizde $a_1$ ve $d$ bilinmeyenlerini içeren iki denklem var:
• 1. $2a_1 + 7d = 25$
• 2. $a_1 + 7d = 23$
• Bu denklem sistemini çözmek için yok etme yöntemini kullanabiliriz. Birinci denklemden ikinci denklemi çıkarırsak $7d$ terimleri birbirini götürecektir.
• $(2a_1 + 7d) - (a_1 + 7d) = 25 - 23$
• $2a_1 + 7d - a_1 - 7d = 2$
• $a_1 = 2$
• Adım 4: İlk Terimi Bulduk
• Denklem sistemini çözdüğümüzde, dizinin ilk terimi olan $a_1$ değerini $2$ olarak bulduk. Soruda bizden istenen de buydu. İstenirse, $a_1$ değerini ikinci denklemde yerine koyarak ortak fark $d$ değerini de bulabiliriz ($2 + 7d = 23 \Rightarrow 7d = 21 \Rightarrow d = 3$). Ancak soru sadece ilk terimi sorduğu için bu adımı tamamlamamız yeterlidir.

Cevap A seçeneğidir.