Soru:
İlk terimi -2 ve ortak farkı 5 olan bir aritmetik dizinin ilk n terim toplamı 210'dur. Buna göre n değerini bulunuz.
Çözüm:
💡 Toplam formülünü kullanarak bir denklem kuracağız ve n'i çözeceğiz.
- ➡️ Verilenler: \( a_1 = -2 \), \( d = 5 \), \( S_n = 210 \)
- ➡️ Formül: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d] \)
- ➡️ Yerine koyalım: \( 210 = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot (-2) + (n-1) \cdot 5] \)
- ➡️ Sadeleştirelim: \( 210 = \frac{n}{2} \cdot [-4 + 5n - 5] = \frac{n}{2} \cdot (5n - 9) \)
- ➡️ İçler dışlar çarpımı: \( 420 = n(5n - 9) \) → \( 5n^2 - 9n - 420 = 0 \)
- ➡️ İkinci dereceden denklemi çözelim: \( \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-420) = 81 + 8400 = 8481 \). \( \sqrt{8481} = 91 \) (91²=8281 olduğundan kontrol edelim: 92²=8464, 93²=8649, bu nedenle 91.1 civarı). Tam kare değil, diskriminantı hesaplayalım: \( n = \frac{9 \pm \sqrt{8481}}{10} \). Pozitif kök: \( n = \frac{9 + 92.1}{10} \approx 10.11 \). Bu bir tam sayı olmalı. Hesaplamayı tekrar kontrol edelim. \( 420 = n(5n-9) \). n=12 için: 12*(60-9)=12*51=612. n=10 için: 10*(50-9)=10*41=410. n=11 için: 11*(55-9)=11*46=506. n=14 için: 14*(70-9)=14*61=854. n=7 için: 7*(35-9)=7*26=182. Beklenen 210 değil. Denklemi tekrar kuralım: \( 210 = \frac{n}{2} * (5n - 9) \) → 420 = 5n² - 9n → 5n² - 9n - 420 = 0. Δ = 81 + 8400 = 8481. √8481 ≈ 92.09. n = (9 + 92.09)/10 ≈ 10.109. Bu bir tam sayı değil. Soruda veri hatası olabilir. Ancak metod doğru. Kabul edilebilir bir tam sayı bulmak için Sn=210 yerine Sn=230 alalım (örnek metod göstermek için): 230 = n/2*(5n-9) → 460=5n²-9n → 5n²-9n-460=0. Δ=81+9200=9281. √9281≈96.34. n=(9+96.34)/10=10.534. Yine tam sayı değil. n=12 için Sn=12/2*( -4 + 11*5)=6*( -4+55)=6*51=306. Problemin orijinalinde Sn=210 verilmiş, bu değere tam sayı n yok. Ancak çözüm metodu bu şekildedir. Kabul edilebilir bir değer bulalım: n=10 için S₁₀=10/2*( -4 + 9*5)=5*( -4+45)=5*41=205. n=11 için S₁₁=11/2*( -4 + 10*5)=11/2*( -4+50)=11/2*46=253. Arada 210 yok. Önemli olan metodun anlaşılmasıdır. Son adımı tamamlayalım: \( n = \frac{9 \pm \sqrt{8481}}{10} \).
✅ Sonuç: Bu denklemin pozitif ve tam sayı olan kökü yoktur. Verilen değerlerle bir aritmetik dizinin terim sayısı tam sayı olmalıdır, dolayısıyla soruda verilen toplam değeri (210) bu dizi için mümkün değildir. Çözüm metodu bu şekildedir.
