Soru:
Bir aritmetik dizinin ilk 15 terim toplamı 480, ilk 20 terim toplamı 860'dır. Buna göre bu dizinin ilk terimi ve ortak farkını bulunuz.
Çözüm:
💡 İki bilinmeyenli iki denklem kuracağız.
- ➡️ Toplam formülü: \( S_n = \frac{n}{2} \cdot [2a_1 + (n-1)d] \)
- ➡️ İlk denklem (n=15): \( 480 = \frac{15}{2} \cdot [2a_1 + 14d] \) → \( 480 = \frac{15}{2} \cdot 2 \cdot [a_1 + 7d] \) → \( 480 = 15 \cdot (a_1 + 7d) \) → \( a_1 + 7d = 32 \) (1. Denklem)
- ➡️ İkinci denklem (n=20): \( 860 = \frac{20}{2} \cdot [2a_1 + 19d] \) → \( 860 = 10 \cdot (2a_1 + 19d) \) → \( 2a_1 + 19d = 86 \) (2. Denklem)
- ➡️ Denklem sistemini çözelim. (1. Denklem)'i 2 ile çarpalım: \( 2a_1 + 14d = 64 \)
- ➡️ (2. Denklem)'den çıkaralım: \( (2a_1 + 19d) - (2a_1 + 14d) = 86 - 64 \) → \( 5d = 22 \) → \( d = 4.4 \)
- ➡️ \( d = 4.4 \) değerini (1. Denklem)'de yerine koyalım: \( a_1 + 7 \cdot 4.4 = 32 \) → \( a_1 + 30.8 = 32 \) → \( a_1 = 1.2 \)
✅ Sonuç: İlk terim \( a_1 = 1.2 \), ortak fark \( d = 4.4 \) olarak bulunur.
