Soru:
Bir aritmetik dizinin ilk 15 terim toplamı 300, ilk 10 terim toplamı 100'dür. Buna göre bu dizinin 11. terimi kaçtır?
Çözüm:
💡 İpucu: İlk 15 terim toplamından ilk 10 terim toplamını çıkarırsak, 11'den 15'e kadar olan 5 terimin toplamını buluruz.
- ➡️ 11-15. terimlerin toplamı: \( S_{15} - S_{10} = 300 - 100 = 200 \)
- ➡️ Bu 5 terim de kendi arasında aritmetik dizi oluşturur. Ortanca terim (13. terim) bu dizinin ortalamasıdır.
- ➡️ 5 terimin ortalaması: \( \frac{200}{5} = 40 \). Yani \( a_{13} = 40 \)
- ➡️ 11. terimi bulmak için: \( a_{11} = a_{13} - 2d \). Ancak d'yi bilmiyoruz.
- ➡️ Alternatif yol: 11-15 terimleri \( a_{11}, a_{12}, a_{13}, a_{14}, a_{15} \) şeklindedir ve \( a_{13} = \frac{a_{11} + a_{15}}{2} \)
- ➡️ Daha basiti: 11. terim, bu 5 terimlik aritmetik dizinin ilk terimidir. \( S_5 = \frac{5}{2} \cdot (a_{11} + a_{15}) = 200 \)
- ➡️ \( a_{15} = a_{11} + 4d \) yerine, \( a_{11} + a_{15} = 2a_{13} = 80 \) eşitliğini kullanalım: \( \frac{5}{2} \cdot 80 = 200 \)
- ➡️ Bu bize doğrulama yaptırır. 11. terimi bulmak için: \( a_{11} = a_{13} - 2d \), ama \( a_{13} - a_{11} = 2d \) ve \( a_{15} - a_{13} = 2d \). 5 terimin toplamı = \( 5 \cdot a_{13} = 200 \) → \( a_{13} = 40 \). 11. terim ile 15. terimin toplamı 80 olduğuna göre ve 11. terim 13. terimden 2d kadar küçük, 15. terim 2d kadar büyük olduğuna göre, 11. terim 40'tan küçük bir sayıdır. Ancak bu bilgi yeterli değil.
- ➡️ Doğru yaklaşım: \( S_{15} = \frac{15}{2}(2a_1 + 14d) = 300 \) ve \( S_{10} = \frac{10}{2}(2a_1 + 9d) = 100 \). Bu denklemleri çözelim.
- ➡️ İlk denklem: \( 15(a_1 + 7d) = 300 \) → \( a_1 + 7d = 20 \)
- ➡️ İkinci denklem: \( 5(2a_1 + 9d) = 100 \) → \( 2a_1 + 9d = 20 \)
- ➡️ İki bilinmeyenli denklem çözümü: Birinci denklem \( a_1 = 20 - 7d \), ikinci denklemde yerine koy: \( 2(20-7d) + 9d = 20 \) → \( 40 - 14d + 9d = 20 \) → \( -5d = -20 \) → \( d = 4 \)
- ➡️ \( a_1 = 20 - 7 \cdot 4 = 20 - 28 = -8 \)
- ➡️ 11. terim: \( a_{11} = a_1 + 10d = -8 + 10 \cdot 4 = -8 + 40 = 32 \)
✅ Sonuç: 11. terim \( a_{11} = 32 \)'dir.
