10. Sınıf Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları Test 1

Koordinat düzleminde P(-1,4) ve R(5,-2) noktaları işaretlenmiştir. [PR] doğru parçasını 2:1 oranında dıştan bölen Q noktasının koordinatları nedir?

A) (11, -8)
B) (9, -6)
C) (7, -4)
D) (13, -10)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, koordinat düzleminde verilen iki nokta arasındaki bir doğru parçasını belirli bir oranda dıştan bölen üçüncü bir noktanın koordinatlarını bulacağız. Bu tür soruları çözerken kullanacağımız özel bir formül bulunmaktadır. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Verilenleri Belirleyelim:
  • Birinci noktamız $P(x_1, y_1) = (-1, 4)$.
  • İkinci noktamız $R(x_2, y_2) = (5, -2)$.
  • [PR] doğru parçasını dıştan bölen oran $m:n = 2:1$. Yani $m=2$ ve $n=1$.
  • Aradığımız nokta $Q(x,y)$.
• 2. Dıştan Bölme Formülünü Hatırlayalım:

  Bir $P(x_1, y_1)$ ve $R(x_2, y_2)$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $m:n$ oranında dıştan bölen $Q(x,y)$ noktasının koordinatları şu formülle bulunur:

  $Q(x,y) = \left( \frac{m x_2 - n x_1}{m - n}, \frac{m y_2 - n y_1}{m - n} \right)$

  Bu formül, içten bölme formülüne benzerdir, tek fark paydadaki ve paydaki çıkarma işlemidir. Dıştan bölme demek, Q noktasının P ve R'nin arasında değil, doğru parçasının uzantısı üzerinde olduğu anlamına gelir.

• 3. x-koordinatını Hesaplayalım:

  Formüldeki $x$ değerini bulmak için verilenleri yerine yazalım:

  $x = \frac{m x_2 - n x_1}{m - n}$

  $x = \frac{2 \cdot (5) - 1 \cdot (-1)}{2 - 1}$

  $x = \frac{10 - (-1)}{1}$

  $x = \frac{10 + 1}{1}$

  $x = 11$

• 4. y-koordinatını Hesaplayalım:

  Şimdi de formüldeki $y$ değerini bulmak için verilenleri yerine yazalım:

  $y = \frac{m y_2 - n y_1}{m - n}$

  $y = \frac{2 \cdot (-2) - 1 \cdot (4)}{2 - 1}$

  $y = \frac{-4 - 4}{1}$

  $y = \frac{-8}{1}$

  $y = -8$

• 5. Q Noktasının Koordinatlarını Belirleyelim:

  Hesapladığımız $x$ ve $y$ değerlerini birleştirerek $Q$ noktasının koordinatlarını buluruz:

  $Q(x,y) = (11, -8)$

Bu koordinatlar, seçeneklerdeki A şıkkına karşılık gelmektedir.

Cevap A seçeneğidir.