Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kökleri verilen bir ikinci dereceden denklemi bulmamız isteniyor. İkinci dereceden denklemlerin kökleri ile katsayıları arasında çok güzel ve kullanışlı ilişkiler vardır. Bu ilişkileri kullanarak veya denklemin çarpanlara ayrılmış halini düşünerek sonuca ulaşabiliriz. İki farklı yöntemle bu soruyu adım adım çözelim.
- Yöntem 1: Kökler Toplamı ve Kökler Çarpımı Formülünü Kullanma
- Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde yazılır. Eğer bu denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, kökler ile katsayılar arasında şu ilişkiler vardır:
- Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
- Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
- Özellikle, $a=1$ olduğunda (yani denklem $x^2 + bx + c = 0$ şeklinde olduğunda), denklem $x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ şeklinde yazılabilir. Seçeneklerdeki tüm denklemlerin $x^2$ teriminin katsayısı $1$ olduğu için bu formülü kullanabiliriz.
- Bize verilen kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = -3$'tür.
- Şimdi kökler toplamını bulalım:
- $x_1 + x_2 = 2 + (-3) = 2 - 3 = -1$
- Şimdi de kökler çarpımını bulalım:
- $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-3) = -6$
- Bu değerleri $x^2 - (x_1+x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0$ formülünde yerine yazalım:
- $x^2 - (-1)x + (-6) = 0$
- Denklemi düzenlersek:
- $x^2 + x - 6 = 0$
- Yöntem 2: Çarpanlara Ayırma Yöntemini Kullanma
- Eğer bir ikinci dereceden denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, bu denklem $(x - x_1)(x - x_2) = 0$ şeklinde çarpanlara ayrılabilir. (Başında bir $k$ sabiti olabilir, ancak seçeneklerde $x^2$ teriminin katsayısı $1$ olduğu için $k=1$ alabiliriz.)
- Bize verilen kökler $x_1 = 2$ ve $x_2 = -3$'tür.
- Bu kökleri çarpan formülünde yerine yazalım:
- $(x - 2)(x - (-3)) = 0$
- İkinci parantezi düzenleyelim:
- $(x - 2)(x + 3) = 0$
- Şimdi bu iki ifadeyi çarpalım (dağılma özelliğini kullanalım):
- $x \cdot x + x \cdot 3 - 2 \cdot x - 2 \cdot 3 = 0$
- $x^2 + 3x - 2x - 6 = 0$
- Benzer terimleri birleştirelim:
- $x^2 + (3x - 2x) - 6 = 0$
- $x^2 + x - 6 = 0$
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: $x^2 + x - 6 = 0$. Bu denklem seçeneklerde A şıkkında bulunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
