Sevgili öğrenciler, bu problemde bize bir ikinci dereceden denklem verilmiş ve kökleri arasındaki farkın değeri belirtilmiş. Bizden istenen ise 'm' parametresinin alabileceği değerlerin toplamını bulmak. Haydi adım adım ilerleyelim!
- Öncelikle verilen denklemi $ax^2 + bx + c = 0$ genel formuyla karşılaştırarak katsayıları belirleyelim. Denklemimiz $x^2 - (m+1)x + 9 = 0$. Bu durumda katsayılarımız: $a = 1$, $b = -(m+1)$ ve $c = 9$'dur.
- Ayrıca bize kökler arasındaki farkın 4 olduğu bilgisi verilmiş: $|x_1 - x_2| = 4$.
- İkinci dereceden bir denklemin kökleri arasındaki farkı bulmak için özel bir formülümüz vardır:
$|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$
Burada $\Delta$ (delta) diskriminanttır ve $\Delta = b^2 - 4ac$ formülüyle hesaplanır.
- Şimdi bu formülü kullanarak verilen değerleri yerine yazalım:
$4 = \frac{\sqrt{(-(m+1))^2 - 4(1)(9)}}{|1|}$
- Denklemi basitleştirelim:
$4 = \sqrt{(m+1)^2 - 36}$
- Eşitliğin her iki tarafının karesini alarak karekökten kurtulalım:
$4^2 = ((m+1)^2 - 36)$
$16 = (m+1)^2 - 36$
- Şimdi $(m+1)^2$ ifadesini yalnız bırakalım:
$16 + 36 = (m+1)^2$
$52 = (m+1)^2$
- Bu denklemden $(m+1)$ için iki farklı değer buluruz:
$m+1 = \sqrt{52}$ veya $m+1 = -\sqrt{52}$
- $\sqrt{52}$ ifadesini sadeleştirelim: $\sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}$.
- Şimdi 'm' için olası değerleri bulalım:
Birinci durum: $m+1 = 2\sqrt{13} \implies m_1 = 2\sqrt{13} - 1$
İkinci durum: $m+1 = -2\sqrt{13} \implies m_2 = -2\sqrt{13} - 1$
- Problem bizden 'm'nin alabileceği değerler toplamını istiyor. Bulduğumuz $m_1$ ve $m_2$ değerlerini toplayalım:
Toplam $= m_1 + m_2 = (2\sqrt{13} - 1) + (-2\sqrt{13} - 1)$
- Toplama işlemini yaparken benzer terimleri bir araya getirelim:
Toplam $= 2\sqrt{13} - 1 - 2\sqrt{13} - 1$
Toplam $= (2\sqrt{13} - 2\sqrt{13}) + (-1 - 1)$
Toplam $= 0 - 2$
Toplam $= -2$
Cevap A seçeneğidir.
