Soru:
\(x^2 - (m+2)x + 4 = 0\) denkleminin kökleri \(x_1\) ve \(x_2\)'dir. Kökler farkı \(|x_1 - x_2| = 2\sqrt{3}\) olduğuna göre, \(m\)'nin alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm:
💡 Bu soruda kökler farkı verilmiş ve parametre (\(m\)) isteniyor. Önce \(\Delta\)'yı \(m\) cinsinden yazıp formülü kullanacağız.
- ➡️ Denklem: \(x^2 - (m+2)x + 4 = 0\). Katsayılar: \(a = 1\), \(b = -(m+2)\), \(c = 4\).
- ➡️ Diskriminantı hesaplayalım: \(\Delta = b^2 - 4ac = [-(m+2)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = (m+2)^2 - 16\).
- ➡️ Kökler farkı formülünü yazalım ve verilen değeri eşitleyelim: \(|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{(m+2)^2 - 16}}{|1|} = \sqrt{(m+2)^2 - 16} = 2\sqrt{3}\).
- ➡️ Her iki tarafın karesini alarak denklemi çözelim: \((\sqrt{(m+2)^2 - 16})^2 = (2\sqrt{3})^2\) → \((m+2)^2 - 16 = 12\) → \((m+2)^2 = 28\).
- ➡️ Buradan, \(m+2 = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\) veya \(m+2 = -\sqrt{28} = -2\sqrt{7}\).
- ➡️ Sonuç olarak, \(m = -2 + 2\sqrt{7}\) veya \(m = -2 - 2\sqrt{7}\).
✅ \(m\)'nin alabileceği değerler \(-2 + 2\sqrt{7}\) ve \(-2 - 2\sqrt{7}\)'dir.
