10. Sınıf Üçgenin Ağırlık Merkezinin Koordinatları Test 1

Bir ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(4,6)'dır. [BC] kenarının orta noktası D(3,4) olduğuna göre, A köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) (6,8)
B) (5,7)
C) (6,10)
D) (5,9)

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda bir üçgenin ağırlık merkezi ve bir kenarının orta noktası verilmiş. Amacımız, üçgenin bir köşesinin koordinatlarını bulmak. Bu tür soruları çözerken ağırlık merkezinin temel özelliğini hatırlamamız çok önemlidir. Haydi, adım adım bu soruyu birlikte çözelim!

• Soruyu Anlayalım:

  Bize bir $ABC$ üçgeni verilmiş. Bu üçgenin ağırlık merkezi $G(4,6)$ olarak belirtilmiş. Ayrıca, $[BC]$ kenarının orta noktası $D(3,4)$ olarak verilmiş. Bizden istenen ise $A$ köşesinin koordinatlarıdır. $A$ köşesinin koordinatlarını $(x_A, y_A)$ olarak kabul edelim.

• Ağırlık Merkezinin Özelliğini Hatırlayalım:

  Bir üçgende ağırlık merkezi, kenarortayları köşeden itibaren $2:1$ oranında böler. Yani, $A$ köşesinden $[BC]$ kenarının orta noktası olan $D$'ye çizilen kenarortay üzerinde $G$ noktası bulunur ve $AG = 2 \cdot GD$ ilişkisi vardır. Bu, $G$ noktasının $A$ ve $D$ noktalarını birleştiren doğru parçasını $A$ tarafından $2$, $D$ tarafından $1$ oranında böldüğü anlamına gelir.

• Koordinat Formülünü Uygulayalım:

  Bir doğru parçasını belirli bir oranda bölen noktanın koordinatları formülünü kullanabiliriz. Eğer $A(x_A, y_A)$, $D(x_D, y_D)$ ve $G(x_G, y_G)$ ise, $G$ noktası $AD$ doğru parçasını $2:1$ oranında böldüğü için aşağıdaki formülleri kullanırız:

  • $x_G = \frac{1 \cdot x_A + 2 \cdot x_D}{1+2} = \frac{x_A + 2x_D}{3}$
  • $y_G = \frac{1 \cdot y_A + 2 \cdot y_D}{1+2} = \frac{y_A + 2y_D}{3}$
• Verilen Değerleri Yerine Koyalım ve $x_A$ Koordinatını Bulalım:

  Bize $G(4,6)$ ve $D(3,4)$ koordinatları verilmişti. $x$ koordinatları için formülü kullanalım:

  • $x_G = \frac{x_A + 2x_D}{3}$
  • $4 = \frac{x_A + 2 \cdot 3}{3}$
  • $4 = \frac{x_A + 6}{3}$
  • Şimdi denklemi çözmek için her iki tarafı $3$ ile çarpalım:
  • $4 \cdot 3 = x_A + 6$
  • $12 = x_A + 6$
  • $x_A$'yı yalnız bırakmak için $6$'yı eşitliğin diğer tarafına atalım:
  • $x_A = 12 - 6$
  • $x_A = 6$
• Verilen Değerleri Yerine Koyalım ve $y_A$ Koordinatını Bulalım:

  $y$ koordinatları için formülü kullanalım:

  • $y_G = \frac{y_A + 2y_D}{3}$
  • $6 = \frac{y_A + 2 \cdot 4}{3}$
  • $6 = \frac{y_A + 8}{3}$
  • Şimdi denklemi çözmek için her iki tarafı $3$ ile çarpalım:
  • $6 \cdot 3 = y_A + 8$
  • $18 = y_A + 8$
  • $y_A$'yı yalnız bırakmak için $8$'i eşitliğin diğer tarafına atalım:
  • $y_A = 18 - 8$
  • $y_A = 10$
• $A$ Köşesinin Koordinatlarını Belirleyelim:

  Bulduğumuz $x_A = 6$ ve $y_A = 10$ değerlerini birleştirerek $A$ köşesinin koordinatlarını $A(6,10)$ olarak buluruz.

• Seçeneklerle Karşılaştıralım:

  Bulduğumuz $A(6,10)$ koordinatları, verilen seçeneklerden C seçeneği ile aynıdır.

Cevap C seçeneğidir.