Bu soruyu çözmek için doğal logaritma fonksiyonunun türev alma kuralını ve zincir kuralını kullanacağız.
- Öncelikle, verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = \ln(3x^2)$. Bu, iç içe geçmiş bir fonksiyondur. Dış fonksiyon doğal logaritma ($\ln$), iç fonksiyon ise $3x^2$ şeklindedir.
- Doğal logaritma fonksiyonunun türev kuralını hatırlayalım: Eğer $y = \ln(u)$ ise, bu fonksiyonun türevi $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$ şeklindedir. Bu kurala "zincir kuralı" da denir.
- Bizim fonksiyonumuzda $u = 3x^2$ olarak tanımlayabiliriz.
- Şimdi, $u$'nun $x$'e göre türevini bulalım: $\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2)$. Kuvvet kuralını kullanarak ($x^n$'nin türevi $nx^{n-1}$'dir), $3x^2$'nin türevi $3 \cdot 2x^{2-1} = 6x$ olur. Yani, $\frac{du}{dx} = 6x$.
- Bulduğumuz bu değerleri zincir kuralı formülünde yerine koyalım: $f'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx}$.
- $f'(x) = \frac{1}{3x^2} \cdot 6x$.
- Şimdi bu ifadeyi sadeleştirelim: $f'(x) = \frac{6x}{3x^2}$.
- Pay ve paydadaki ortak terimleri sadeleştirelim. $6$ ile $3$ sadeleşir, $x$ ile $x^2$ sadeleşir.
- $f'(x) = \frac{6}{3} \cdot \frac{x}{x^2} = 2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$.
- Böylece, fonksiyonun türevi $\frac{2}{x}$ olarak bulunur.
Cevap B seçeneğidir.
