Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir logaritmik fonksiyonun türevini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- Adım 1: Fonksiyonu Basitleştirme (Logaritma Özelliği Kullanımı)
- Verilen fonksiyon $g(x) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ şeklindedir. Logaritmanın önemli bir özelliğini hatırlayalım: $\ln\left(\frac{A}{B}\right) = \ln(A) - \ln(B)$. Bu özelliği kullanarak fonksiyonumuzu daha basit bir hale getirebiliriz:
- $g(x) = \ln(x-1) - \ln(x+1)$
- Bu basitleştirme, türev alma işlemini çok daha kolay hale getirecektir.
- Adım 2: Türev Alma Kurallarını Hatırlama
- Doğal logaritma fonksiyonunun türevi kuralını hatırlayalım: Eğer $h(x) = \ln(u(x))$ ise, $h'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$'tir. Yani, iç fonksiyonun türevini alıp, iç fonksiyonun kendisine böleriz.
- Adım 3: Her Bir Terimin Türevini Alma
- Şimdi $g(x) = \ln(x-1) - \ln(x+1)$ ifadesindeki her bir terimin türevini ayrı ayrı alalım:
- İlk terim için: $u(x) = x-1$. Bu durumda $u'(x) = 1$.
- Yani, $\frac{d}{dx}(\ln(x-1)) = \frac{1}{x-1}$.
- İkinci terim için: $v(x) = x+1$. Bu durumda $v'(x) = 1$.
- Yani, $\frac{d}{dx}(\ln(x+1)) = \frac{1}{x+1}$.
- Adım 4: Türevleri Birleştirme
- Şimdi bulduğumuz türevleri bir araya getirelim:
- $g'(x) = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1}$
- Adım 5: İfadeyi Sadeleştirme
- Bu iki kesri birleştirmek için paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ortak payda $(x-1)(x+1)$ olacaktır:
- $g'(x) = \frac{1 \cdot (x+1)}{(x-1)(x+1)} - \frac{1 \cdot (x-1)}{(x+1)(x-1)}$
- $g'(x) = \frac{(x+1) - (x-1)}{(x-1)(x+1)}$
- Pay kısmını açalım: $x+1-x+1 = 2$.
- Payda kısmını açalım: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1$ (iki kare farkı özdeşliği).
- Böylece türevimiz şu hale gelir: $g'(x) = \frac{2}{x^2-1}$.
Bu sonuç, seçenekler arasında A seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
